Теоретическое исследование, страница 122 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 23. Работа силы тяжести, силы упругости и силы трения. Вопросы - страница 122.

Условие.

Теоретическое исследование

Груз массой 2 т равномерно поднят на высоту 5 м по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен 0,5.

a) Найдите работу силы тяжести, работу силы трения, работу силы, которая была совершена при равномерном поднятии груза.

б) Во сколько раз с помощью наклонной плоскости можно выиграть в силе? Трением при движении пренебречь.

Решение.

Дано:

$m = 2 \text{ т}$

$h = 5 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0,5$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$m = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$

Найти:

а) $A_{тяж}, A_{тр}, A_{тяги}$

б) $\frac{P}{F_{идеальная}}$

Решение:

а) Найдите работу силы тяжести, работу силы трения, работу силы, которая была совершена при равномерном поднятии груза.

1. Работа силы тяжести ($A_{тяж}$) при подъеме тела на высоту $\text{h}$ вычисляется по формуле:

$A_{тяж} = -mgh$

Знак минус указывает на то, что сила тяжести направлена противоположно вертикальному перемещению груза.

$A_{тяж} = -2000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м} = -100000 \text{ Дж} = -100 \text{ кДж}$.

2. Работа силы трения ($A_{тр}$) вычисляется по формуле:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot s$

где $\text{s}$ – путь, пройденный грузом по наклонной плоскости, а $F_{тр}$ – сила трения. Знак минус означает, что сила трения направлена против движения.

Найдем путь $\text{s}$. Из прямоугольного треугольника, образованного наклонной плоскостью, высотой и основанием, имеем:

$s = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{5 \text{ м}}{\sin(30^\circ)} = \frac{5 \text{ м}}{0,5} = 10 \text{ м}$.

Сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ – сила нормальной реакции опоры. Для наклонной плоскости:

$N = mg \cos(\alpha) = 2000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot \cos(30^\circ) = 20000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10000\sqrt{3} \text{ Н}$.

Тогда сила трения:

$F_{тр} = 0,5 \cdot 10000\sqrt{3} \text{ Н} = 5000\sqrt{3} \text{ Н}$.

Теперь можем вычислить работу силы трения:

$A_{тр} = -5000\sqrt{3} \text{ Н} \cdot 10 \text{ м} = -50000\sqrt{3} \text{ Дж} \approx -86603 \text{ Дж} \approx -86,6 \text{ кДж}$.

3. Работа силы, которая была совершена при равномерном поднятии груза ($A_{тяги}$).

Так как груз поднимали равномерно, его кинетическая энергия не менялась ($\Delta E_k = 0$). Согласно теореме о кинетической энергии, полная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{полная} = A_{тяги} + A_{тяж} + A_{тр} = \Delta E_k = 0$

Отсюда работа силы тяги:

$A_{тяги} = -A_{тяж} - A_{тр}$

$A_{тяги} = -(-100000 \text{ Дж}) - (-50000\sqrt{3} \text{ Дж}) = (100000 + 50000\sqrt{3}) \text{ Дж}$.

$A_{тяги} \approx 100000 + 86603 \approx 186603 \text{ Дж} \approx 186,6 \text{ кДж}$.

Ответ: работа силы тяжести $A_{тяж} = -100 \text{ кДж}$; работа силы трения $A_{тр} = -50\sqrt{3} \text{ кДж} \approx -86,6 \text{ кДж}$; работа силы, совершившей подъем, $A_{тяги} = (100 + 50\sqrt{3}) \text{ кДж} \approx 186,6 \text{ кДж}$.

б) Во сколько раз с помощью наклонной плоскости можно выиграть в силе? Трением при движении пренебречь.

Выигрыш в силе, который дает идеальная (без трения) наклонная плоскость, – это отношение силы, необходимой для подъема груза вертикально ($P = mg$), к силе, которую нужно приложить для его подъема по наклонной плоскости ($F_{идеальная}$).

Сила, необходимая для равномерного подъема груза по наклонной плоскости без трения, равна составляющей силы тяжести, параллельной плоскости:

$F_{идеальная} = mg \sin(\alpha)$

Выигрыш в силе равен:

$\frac{P}{F_{идеальная}} = \frac{mg}{mg \sin(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)}$

Подставим значение угла:

$\frac{1}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{0,5} = 2$

Ответ: с помощью данной наклонной плоскости (пренебрегая трением) можно выиграть в силе в 2 раза.