Номер 2, страница 122 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 23. Работа силы тяжести, силы упругости и силы трения. Вопросы - номер 2, страница 122.

Условие.

2. В каком случае для вычисления работы силы упругости можно взять среднее значение её модуля?

Решение.

Для вычисления работы силы упругости можно использовать среднее значение её модуля в том случае, когда сила упругости линейно зависит от деформации (перемещения). Таким свойством обладает сила упругости, подчиняющаяся закону Гука.

Работа переменной силы $\text{A}$ на некотором перемещении $\Delta x$ в общем случае вычисляется как интеграл. Однако если сила линейно зависит от перемещения, то ее работу можно вычислить по формуле:$A = F_{ср} \cdot s \cdot \cos\alpha$,где $F_{ср}$ — среднее значение модуля силы на данном перемещении $\text{s}$, а $\alpha$ — угол между направлением силы и перемещения.

Согласно закону Гука, модуль силы упругости прямо пропорционален модулю деформации (удлинения) тела:$|F_{упр}| = k|x|$,где $\text{k}$ — коэффициент жесткости, а $\text{x}$ — деформация. Это и есть линейная зависимость.

Благодаря этой линейной зависимости среднее значение модуля силы упругости при изменении деформации от $x_1$ до $x_2$ равно среднему арифметическому начального и конечного значений модуля силы:$F_{ср} = \frac{|F_1| + |F_2|}{2} = \frac{k|x_1| + k|x_2|}{2}$.

Проверим, что использование этого среднего значения дает правильный результат. Работа силы упругости при изменении деформации от $x_1$ до $x_2$ равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятому с противоположным знаком:$A_{упр} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -(\frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2}) = \frac{k(x_1^2 - x_2^2)}{2}$.

Теперь вычислим работу через среднюю силу. Для простоты будем считать, что пружину растягивают от $x_1$ до $x_2$ (где $x_2 > x_1 \ge 0$). Перемещение $s = x_2 - x_1$ направлено в сторону растяжения, а сила упругости — в противоположную сторону (к положению равновесия), поэтому угол $\alpha = 180^\circ$, и $\cos\alpha = -1$.$A_{упр} = -F_{ср} \cdot s = -\frac{k(x_1 + x_2)}{2} \cdot (x_2 - x_1) = -\frac{k(x_2^2 - x_1^2)}{2} = \frac{k(x_1^2 - x_2^2)}{2}$.

Так как результаты, полученные двумя способами, совпадают, метод вычисления работы через среднее значение модуля силы упругости является корректным при условии выполнения закона Гука.

Ответ: Среднее значение модуля силы упругости можно использовать для вычисления её работы в том случае, когда выполняется закон Гука, то есть когда сила упругости прямо пропорциональна деформации тела.