Номер 3, страница 203 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Почему теплоёмкости химических элементов в кристаллическом состоянии в два раза больше теплоёмкости одноатомных газов?

Почему теплоёмкости одноатомных и многоатомных газов не совпадают?

Решение:

Теплоёмкость вещества связана с его внутренней энергией. Согласно молекулярно-кинетической теории, внутренняя энергия идеального газа — это суммарная кинетическая энергия хаотического движения его молекул. Теплоёмкость зависит от того, по каким видам движения (степеням свободы) может распределяться получаемая газом энергия.

Внутренняя энергия одного моля идеального газа определяется формулой: $U = \frac{i}{2}RT$, где $\text{i}$ — число степеней свободы молекулы, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме $C_V$ равна производной от внутренней энергии по температуре: $C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{i}{2}R$.

Число степеней свободы $\text{i}$ различается для одноатомных и многоатомных газов:

1. Одноатомный газ (например, гелий, неон, аргон). Его молекулы можно считать материальными точками. Они обладают только тремя поступательными степенями свободы (движение вдоль осей x, y, z). Таким образом, $i=3$. Их молярная теплоёмкость: $C_{V(одноат.)} = \frac{3}{2}R$.

2. Многоатомный газ (например, кислород O₂, углекислый газ CO₂). Его молекулы, помимо поступательного движения, могут совершать вращательное и колебательное движение.

• Для двухатомных газов (например, O₂, N₂, H₂) при средних температурах учитываются 3 поступательные и 2 вращательные степени свободы, итого $i=5$. Их теплоёмкость: $C_{V(двухат.)} = \frac{5}{2}R$.
• Для трёх- и более атомных нелинейных молекул (например, H₂O, CH₄) имеется 3 поступательные и 3 вращательные степени свободы, итого $i=6$. Их теплоёмкость: $C_{V(многоат.)} = \frac{6}{2}R = 3R$.

Так как число степеней свободы $\text{i}$ для одноатомных газов меньше, чем для многоатомных, то и их теплоёмкости не совпадают. Энергия, сообщаемая многоатомному газу, расходуется не только на увеличение кинетической энергии поступательного движения (что приводит к росту температуры), но и на возбуждение вращательных и колебательных движений, поэтому для повышения температуры на ту же величину требуется большее количество теплоты.

Ответ: Теплоёмкости одноатомных и многоатомных газов не совпадают, потому что их молекулы имеют разное число степеней свободы. Молекулы многоатомных газов, в отличие от одноатомных, могут не только двигаться поступательно, но и вращаться, что приводит к большему значению молярной теплоёмкости.

3. Почему теплоёмкости химических элементов в кристаллическом состоянии в два раза больше теплоёмкости одноатомных газов?

Решение:

Сравним молярные теплоёмкости при постоянном объёме ($C_V$) для одноатомного идеального газа и для твёрдого кристаллического тела.

1. Молярная теплоёмкость одноатомного газа.
Как было показано выше, молекулы одноатомного газа имеют 3 поступательные степени свободы. Их внутренняя энергия (на 1 моль) равна $U_{газ} = \frac{3}{2}RT$. Соответственно, молярная теплоёмкость равна: $C_{V, газ} = \frac{d}{dT}\left(\frac{3}{2}RT\right) = \frac{3}{2}R$.

2. Молярная теплоёмкость кристаллического тела.
В модели твёрдого тела (согласно классической теории, закон Дюлонга и Пти) атомы в кристаллической решётке не могут свободно перемещаться, но совершают колебания около своих положений равновесия. Каждому атому можно приписать три независимых направления колебаний (вдоль осей x, y, z).

Для каждого направления колебательное движение обладает двумя видами энергии: кинетической (энергия движения) и потенциальной (энергия взаимодействия с соседними атомами). Согласно закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы, на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия $\text{kT}$ ($ \frac{1}{2}kT$ на кинетическую и $ \frac{1}{2}kT$ на потенциальную энергию).

Таким образом, каждый атом в кристалле имеет $3 \times 2 = 6$ степеней свободы (3 кинетические и 3 потенциальные). Средняя энергия одного атома составляет $E_{1} = 6 \times \frac{1}{2}kT = 3kT$.

Внутренняя энергия одного моля кристаллического вещества (содержащего $N_A$ атомов) равна: $U_{тв} = N_A \cdot E_{1} = N_A \cdot 3kT = 3(N_A k)T = 3RT$.

Тогда молярная теплоёмкость твёрдого тела: $C_{V, тв} = \frac{d}{dT}(3RT) = 3R$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{C_{V, тв}}{C_{V, газ}} = \frac{3R}{\frac{3}{2}R} = 2$.

Ответ: Теплоёмкость химических элементов в кристаллическом состоянии в два раза больше теплоёмкости одноатомных газов, потому что атомы в кристалле колеблются в трёх направлениях, и на каждое направление приходится как кинетическая, так и потенциальная энергия (итого 6 степеней свободы, $C_V=3R$). Атомы же одноатомного газа обладают только тремя поступательными степенями свободы, связанными только с кинетической энергией ($C_V=\frac{3}{2}R$). Отношение теплоёмкостей составляет $3R / (\frac{3}{2}R) = 2$.

4. Какие тепловые свойства веществ не могла объяснить классическая теория?

Решение:

Классическая теория теплоёмкости, основанная на законе о равномерном распределении энергии по степеням свободы, успешно объясняла тепловые свойства газов и твёрдых тел при высоких (комнатных и выше) температурах, но оказалась неспособной объяснить ряд экспериментальных фактов, особенно при низких температурах.

Основные провалы классической теории:

1. Зависимость теплоёмкости от температуры.
Классическая теория предсказывает, что молярная теплоёмкость не зависит от температуры и является константой ($C_V = \frac{i}{2}R$). Например, для твёрдых тел она должна быть всегда равна $ ext{3R}$ (закон Дюлонга и Пти). Однако эксперименты показали, что при понижении температуры теплоёмкость всех веществ уменьшается и стремится к нулю при приближении к абсолютному нулю ($T \to 0$ K). Классическая физика не могла объяснить это "замораживание" вещества. Это явление было объяснено позже в рамках квантовой механики (модели Эйнштейна и Дебая), которая ввела понятие квантования энергии колебаний атомов в решётке (фононов).

2. Теплоёмкость многоатомных газов.
Классическая теория предсказывала для двухатомного газа теплоёмкость $C_V = \frac{7}{2}R$ (3 поступательные, 2 вращательные, 2 колебательные степени свободы). В реальности при комнатной температуре она равна примерно $C_V = \frac{5}{2}R$, что означает, что колебательные степени свободы "заморожены" и не участвуют в распределении энергии. При низких температурах "замораживаются" и вращательные степени, и теплоёмкость падает до $C_V = \frac{3}{2}R$. Классическая теория не могла объяснить, почему определённые степени свободы "включаются" только при достижении определённых температур. Квантовая механика объясняет это квантованием вращательной и колебательной энергии молекул.

3. Теплоёмкость электронов в металлах.
Согласно классическим представлениям, свободные электроны в металле должны вести себя как идеальный газ и вносить значительный вклад в общую теплоёмкость ($C_{V, эл} = \frac{3}{2}R$). Этого, однако, не наблюдалось на опыте: теплоёмкость металлов при комнатной температуре была близка к $ ext{3R}$, как у диэлектриков. Квантовая статистика Ферми-Дирака объяснила, что из-за принципа Паули лишь ничтожная часть электронов может участвовать в тепловом движении, поэтому их вклад в теплоёмкость очень мал.

4. Излучение абсолютно чёрного тела.
Хотя это не свойство вещества в узком смысле, это фундаментальная проблема тепловой физики. Классическая формула Рэлея-Джинса приводила к "ультрафиолетовой катастрофе" — бесконечному росту энергии излучения на высоких частотах, что противоречило эксперименту. Решение этой проблемы Максом Планком через введение гипотезы о квантах энергии стало рождением квантовой теории.

Ответ: Классическая теория не могла объяснить:

• уменьшение теплоёмкости всех веществ до нуля при приближении температуры к абсолютному нулю;
• ступенчатое изменение теплоёмкости газов при изменении температуры ("замораживание" вращательных и колебательных степеней свободы);
• практически полное отсутствие вклада электронного газа в теплоёмкость металлов при комнатной температуре.