Номер 1, страница 203 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Одним из способов получения высоких температур является адиабат-ное сжатие газов. Для этого можно воспользоваться, например, толстостенным цилиндром, закрытым с обеих сторон, с перемещающимся в нём поршнем. По одну сторону от поршня помещается пороховой заряд, а по другую — газ. При взрыве пороха поршень «выстреливается» и производит адиабатное сжатие газа в цилиндре. Вычислите максимальную температуру сжатого водорода массой 2 г, если пороховой заряд сообщает поршню массой 1 кг начальную скорость 1 км/с.

Решение. В соответствии с первым законом термодинамики $\Delta U = A + Q$.

Поршень совершает работу за счёт полученной в результате взрыва пороха кинетической энергии: $A = \frac{mv^2}{2}$. Так как процесс адиабатный, то $Q = 0$.

$\Delta U = A$. Увеличение внутренней энергии газа $\Delta U = m_1c_1\Delta T$, где $c_1$ — удельная теплоёмкость двухатомного водорода: $c_1 = \frac{iR}{2M} = \frac{5R}{2M}$.

Тогда $m_1\frac{5R}{2M}\Delta T = \frac{mv^2}{2}$.

Отсюда $\Delta T = \frac{Mmv^2}{5m_1R} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \cdot 1 \cdot 10^6}{5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 8,31}$ (К) $= 2,4 \cdot 10^4$ К.

Полученный результат представляет собой лишь оценку изменения температуры водорода, так как в расчётах не учитывались такие явления, как распад молекул и ионизация атомов водорода при высоких температурах.

Дано:

Масса водорода, $m_г = 2$ г

Масса поршня, $m = 1$ кг

Начальная скорость поршня, $v = 1$ км/с

Молярная масса водорода (H₂), $M = 2$ г/моль

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$m_г = 2 \cdot 10^{-3}$ кг

$v = 1000$ м/с

$M = 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Максимальную температуру сжатого водорода $T_{max}$.

Решение:

При адиабатном сжатии газа работа, совершаемая над газом, полностью переходит в его внутреннюю энергию. Запишем первый закон термодинамики:

$\Delta U = A + Q$

где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $\text{A}$ — работа, совершенная над газом, $\text{Q}$ — количество теплоты, переданное газу.

Поскольку процесс сжатия адиабатный, теплообмен с окружающей средой отсутствует, то есть $Q=0$. Следовательно:

$\Delta U = A$

Работа, совершаемая над газом, равна начальной кинетической энергии поршня, которая полностью преобразуется во внутреннюю энергию газа к моменту, когда поршень остановится (достигнув максимального сжатия).

$A = E_k = \frac{mv^2}{2}$

Изменение внутренней энергии для идеального двухатомного газа (водород H₂ имеет 5 степеней свободы, $i=5$) выражается формулой:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$

где $\nu$ — количество вещества газа, которое можно найти как отношение массы газа $m_г$ к его молярной массе $\text{M}$:

$\nu = \frac{m_г}{M}$

Подставляя это в формулу для $\Delta U$, получаем:

$\Delta U = \frac{5}{2} \frac{m_г}{M} R \Delta T$

Приравнивая выражения для работы $\text{A}$ и изменения внутренней энергии $\Delta U$:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{5}{2} \frac{m_г}{M} R \Delta T$

Выразим из этого уравнения изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{mv^2 M}{5 m_г R}$

Так как начальная температура водорода не задана, а вычисленное изменение температуры окажется очень большим, можно с хорошей точностью считать, что максимальная температура $T_{max}$ примерно равна изменению температуры $\Delta T$.

$T_{max} = T_{нач} + \Delta T \approx \Delta T$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$T_{max} \approx \frac{1 \text{ кг} \cdot (1000 \text{ м/с})^2 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}} = \frac{1 \cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}{10 \cdot 10^{-3} \cdot 8,31} \text{ К}$

$T_{max} \approx \frac{2 \cdot 10^3}{10^{-2} \cdot 8,31} = \frac{2 \cdot 10^5}{8,31} \approx 24067 \text{ К}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$T_{max} \approx 2,4 \cdot 10^4 \text{ К}$

Следует отметить, что данный результат является оценкой, так как при таких высоких температурах начинаются процессы диссоциации молекул водорода и ионизации атомов, на которые также расходуется энергия, что не учитывается в модели идеального газа.

Ответ: $T_{max} \approx 2,4 \cdot 10^4$ К.