Номер 38.1, страница 204 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

38.1. В вертикальном цилиндре высотой $h_1 = 2 \text{ м}$ с теплоизолированными стенками находится гелий массой $m_{\text{He}} = 0,32 \text{ г}$ при температуре $T_1 = 27 \text{ °С}$. На какой высоте окончательно установится поршень массой $m = 40 \text{ кг}$, опущенный сверху и движущийся в цилиндре без трения, если над поршнем вакуум?

Дано:

Высота цилиндра, $h_1 = 2$ м

Масса гелия, $m_{He} = 0,32$ г

Начальная температура гелия, $T_1 = 27$ °С

Масса поршня, $m = 40$ кг

Молярная масса гелия, $M_{He} \approx 4$ г/моль

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$m_{He} = 0,32 \cdot 10^{-3}$ кг

$T_1 = 27 + 273 = 300$ К

$M_{He} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Конечная высота поршня, $h_2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из гелия и поршня. Так как стенки цилиндра теплоизолированы и над поршнем вакуум, внешние силы (кроме силы тяжести, потенциальная энергия которой учитывается) не совершают работу, и в систему не поступает тепло. Следовательно, полная энергия системы сохраняется. Полная энергия системы складывается из внутренней энергии газа и потенциальной энергии поршня.

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выберем дно цилиндра.

В начальном состоянии (состояние 1) гелий занимает весь объем цилиндра высотой $h_1$, а поршень находится у верхнего края. Полная энергия системы в начальном состоянии:

$E_1 = U_1 + E_{p1} = \frac{i}{2} \nu R T_1 + mgh_1$

Здесь $U_1$ — начальная внутренняя энергия гелия, $E_{p1}$ — начальная потенциальная энергия поршня, $\nu = \frac{m_{He}}{M_{He}}$ — количество вещества гелия, а $i=3$ — число степеней свободы для одноатомного газа (гелия).

В конечном состоянии (состояние 2) поршень опустился и находится в равновесии на высоте $h_2$. Газ под поршнем имеет температуру $T_2$ и давление $p_2$. Полная энергия системы в конечном состоянии:

$E_2 = U_2 + E_{p2} = \frac{i}{2} \nu R T_2 + mgh_2$

Из закона сохранения энергии $E_1 = E_2$ следует:

$\frac{3}{2} \nu R T_1 + mgh_1 = \frac{3}{2} \nu R T_2 + mgh_2$

В конечном состоянии поршень находится в равновесии, значит, сила тяжести, действующая на него, уравновешена силой давления газа. Если $\text{S}$ — площадь поршня, то:

$p_2 S = mg \implies p_2 = \frac{mg}{S}$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для конечного состояния газа. Объем газа $V_2 = S h_2$.

$p_2 V_2 = \nu R T_2$

Подставим в это уравнение выражения для $p_2$ и $V_2$:

$(\frac{mg}{S}) (S h_2) = \nu R T_2 \implies mgh_2 = \nu R T_2$

Это соотношение связывает конечную температуру газа и высоту поршня. Подставим выражение для $\nu R T_2$ в уравнение сохранения энергии:

$\frac{3}{2} \nu R T_1 + mgh_1 = \frac{3}{2} (mgh_2) + mgh_2$

$\frac{3}{2} \nu R T_1 + mgh_1 = \frac{5}{2} mgh_2$

Отсюда выражаем искомую высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{\frac{3}{2} \nu R T_1 + mgh_1}{\frac{5}{2} mg} = \frac{3 \nu R T_1 + 2mgh_1}{5mg}$

Рассчитаем количество вещества гелия:

$\nu = \frac{m_{He}}{M_{He}} = \frac{0,32 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 0,08$ моль

Подставим числовые значения:

$h_2 = \frac{3 \cdot 0,08 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot 300 \text{ К} + 2 \cdot 40 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м}}{5 \cdot 40 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}$

$h_2 = \frac{598,32 \text{ Дж} + 1600 \text{ Дж}}{2000 \text{ Н}} = \frac{2198,32 \text{ Дж}}{2000 \text{ Н}} \approx 1,09916$ м

Округляя результат с учетом точности исходных данных, получаем:

Ответ: $h_2 \approx 1,1$ м.