Номер 38.7, страница 204 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

38.7. Удельная теплоёмкость алмаза при $20 \text{ °С}$ равна $0,5 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$, графита при $100 \text{ °С}$ — $0,934 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$, а при $1000 \text{ °С}$ — $1,7 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$. Соответствуют ли эти значения закону Дюлонга – Пти?

Дано:

Удельная теплоёмкость алмаза: $c_а = 0,5$ кДж/(кг·К) при температуре $t_а = 20$ °C.
Удельная теплоёмкость графита: $c_{г1} = 0,934$ кДж/(кг·К) при температуре $t_{г1} = 100$ °C.
Удельная теплоёмкость графита: $c_{г2} = 1,7$ кДж/(кг·К) при температуре $t_{г2} = 1000$ °C.
Алмаз и графит являются аллотропными модификациями углерода (C).
Молярная масса углерода: $μ = 12$ г/моль.
Универсальная газовая постоянная: $R ≈ 8,31$ Дж/(моль·К).

$c_а = 0,5 \cdot 10^3 = 500$ Дж/(кг·К)
$c_{г1} = 0,934 \cdot 10^3 = 934$ Дж/(кг·К)
$c_{г2} = 1,7 \cdot 10^3 = 1700$ Дж/(кг·К)
$μ = 12 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Соответствуют ли данные значения закону Дюлонга—Пти?

Решение:

Закон Дюлонга—Пти гласит, что молярная теплоёмкость $C_μ$ твёрдых кристаллических тел при высоких температурах (близких к комнатной и выше) приблизительно одинакова и равна $ ext{3R}$, где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.
$C_μ \approx 3R$

Молярная теплоёмкость $C_μ$ связана с удельной теплоёмкостью $\text{c}$ через молярную массу $μ$ соотношением: $C_μ = c \cdot μ$.

Таким образом, согласно закону Дюлонга—Пти, теоретическое значение удельной теплоёмкости можно рассчитать по формуле:
$c_{теор} = \frac{3R}{μ}$

Поскольку и алмаз, и графит являются формами углерода, рассчитаем теоретическое значение удельной теплоёмкости для углерода:
$c_{теор} = \frac{3 \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}}{12 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \approx 2077,5 \text{ Дж/(кг·К)} \approx 2,08 \text{ кДж/(кг·К)}$

Теперь сравним это теоретическое значение с экспериментальными данными.

1. Алмаз при 20 °C (293 К):
Экспериментальное значение $c_а = 0,5$ кДж/(кг·К).
Это значение значительно меньше теоретического ($0,5 \ll 2,08$). Следовательно, для алмаза при данной температуре закон Дюлонга—Пти не выполняется. Это объясняется тем, что для углерода (особенно в форме алмаза, обладающего очень высокой температурой Дебая) комнатная температура является "низкой". При низких температурах теплоёмкость твёрдых тел сильно зависит от температуры и существенно меньше значения $ ext{3R}$.

2. Графит при 100 °C (373 К):
Экспериментальное значение $c_{г1} = 0,934$ кДж/(кг·К).
Это значение также значительно меньше теоретического ($0,934 < 2,08$). Как и в случае с алмазом, температура 100 °C является недостаточно высокой для того, чтобы теплоёмкость углерода достигла своего классического предела, предсказываемого законом Дюлонга—Пти.

3. Графит при 1000 °C (1273 К):
Экспериментальное значение $c_{г2} = 1,7$ кДж/(кг·К).
Это значение уже достаточно близко к теоретическому $2,08$ кДж/(кг·К). Отклонение составляет около 18%. При такой высокой температуре теплоёмкость графита приближается к предельному значению $ ext{3R}$. Это соответствует тому факту, что закон Дюлонга—Пти является высокотемпературным приближением.

Ответ: Значения удельной теплоёмкости для алмаза при 20 °C и для графита при 100 °C не соответствуют закону Дюлонга—Пти, так как эти температуры являются низкими для углерода, и квантовые эффекты приводят к уменьшению теплоёмкости. Значение для графита при 1000 °C приближается к теоретическому значению, что согласуется с тем, что закон Дюлонга—Пти является высокотемпературной асимптотой для молярной теплоёмкости.