Номер 2, страница 210 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. На рисунке 3.18 представлены диаграммы двух циклов Карно: ABCDA и ABC'D'A. На каком из этих циклов тепловая машина обладает большим КПД?

Решение. КПД идеальной тепловой машины определяется выражением

$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$

Температура T₁ нагревателя в двух циклах одинакова, так как изотерма AB у них общая. Температура T₂ холодильника при работе по циклу ABC'D'A ниже, так как адиабатное расширение газа происходит до большего объёма. Следовательно, КПД при работе по циклу ABC'D'A выше, чем при работе по циклу ABCDA. Это непосредственно видно и из сравнения площадей обоих циклов.

Рис. 3.18

Решение

Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется через температуры нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$):

$η = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

Чтобы определить, на каком из циклов КПД выше, необходимо сравнить температуры их нагревателей и холодильников.

1. Температура нагревателя ($T_1$). Нагреватель передает тепло рабочему телу в процессе изотермического расширения. Для обоих циклов (ABCDA и ABC'D'A) этот процесс представлен одним и тем же участком AB. Это означает, что температура нагревателя $T_1$ для обоих циклов одинакова.

2. Температура холодильника ($T_2$). Рабочее тело отдает тепло холодильнику в процессе изотермического сжатия. Для цикла ABCDA это участок CD, который происходит при температуре $T_2$. Для цикла ABC'D'A это участок C'D', происходящий при температуре $T'_2$.

Процессы BC и BC' являются адиабатными расширениями, при которых газ совершает работу за счет своей внутренней энергии, что ведет к его охлаждению. Из графика видно, что точка C' соответствует большему объему, чем точка C ($V_{C'} > V_C$). Это значит, что в цикле ABC'D'A адиабатное расширение происходит до большего объема, газ совершает большую работу и, следовательно, охлаждается до более низкой температуры. На p-V диаграмме изотермы, соответствующие более низким температурам, располагаются ниже. Так как изотерма C'D' лежит ниже изотермы CD, можно сделать вывод, что температура холодильника для второго цикла ниже: $T'_2 < T_2$.

3. Сравнение КПД. Теперь сравним КПД двух циклов:

КПД цикла ABCDA: $η = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

КПД цикла ABC'D'A: $η' = 1 - \frac{T'_2}{T_1}$

Так как $T'_2 < T_2$ и $T_1$ одинакова, отношение $\frac{T'_2}{T_1}$ меньше, чем $\frac{T_2}{T_1}$. При вычитании из единицы меньшего положительного числа получается больший результат. Таким образом:

$1 - \frac{T'_2}{T_1} > 1 - \frac{T_2}{T_1}$

Следовательно, $η' > η$.

Этот же вывод можно сделать, сравнив площади циклов. КПД также равен $η = \frac{W}{Q_1}$, где $\text{W}$ — работа, совершенная за цикл (площадь фигуры на диаграмме), а $Q_1$ — тепло, полученное от нагревателя. Так как $Q_1$ (соответствует процессу AB) для обоих циклов одинаково, то КПД будет больше у того цикла, у которого больше площадь. Визуально площадь фигуры ABC'D'A больше площади фигуры ABCDA, что подтверждает, что КПД второго цикла выше.

Ответ: Большим КПД обладает тепловая машина, работающая по циклу ABC'D'A.