Номер 39.1, страница 210 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

39.1. При переходе идеального газа, взятого в количестве $\text{1}$ моль, из состояния $\text{B}$ с температурой $\text{T}$ в состояние $\text{D}$ с той же температурой газ совершил работу $8300$ Дж (рис. 3.19). Определите температуру газа в состояниях $\text{B}$ и $\text{C}$.

Рис. 3.19

Дано:

Идеальный газ
Количество вещества, $\nu = 1$ моль
Работа газа при переходе $B \to D$, $A_{BD} = 8300$ Дж
$T_B = T_D$
Из графика (рис. 3.19):
Процесс $B \to C$ – изобарный, $p_B = p_C = 3p_0$
Процесс $C \to D$ – изохорный, $V_C = V_D$
Давление в состоянии D, $p_D = p_0$
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$T_B$, $T_C$

Решение:

Полная работа газа при переходе из состояния B в состояние D через состояние C складывается из работы на участках BC и CD: $A_{BD} = A_{BC} + A_{CD}$.

На участке CD объем газа не изменяется ($V_C = V_D$), следовательно, это изохорный процесс. Работа газа в изохорном процессе равна нулю: $A_{CD} = 0$.

Таким образом, вся работа, совершенная газом, приходится на участок BC: $A_{BD} = A_{BC} = 8300$ Дж.

Участок BC представляет собой изобарное расширение, так как давление постоянно ($p_B = p_C = 3p_0$). Работа при изобарном процессе вычисляется по формуле:

$A_{BC} = p_B (V_C - V_B)$

Подставляя значение давления из графика, получаем: $A_{BC} = 3p_0(V_C - V_B) = 8300$ Дж.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) для состояний B и D.

Для состояния B: $p_B V_B = \nu R T_B$. С учетом $p_B = 3p_0$ имеем $3p_0 V_B = \nu R T_B$.

Для состояния D: $p_D V_D = \nu R T_D$. С учетом $p_D = p_0$ имеем $p_0 V_D = \nu R T_D$.

По условию задачи температуры в начальном (B) и конечном (D) состояниях равны: $T_B = T_D$. Это означает, что правые части уравнений состояния для этих точек равны: $\nu R T_B = \nu R T_D$. Следовательно, равны и левые части:

$3p_0 V_B = p_0 V_D$

Отсюда находим соотношение объемов: $V_D = 3V_B$.

Так как процесс CD изохорный, $V_C = V_D$. Значит, $V_C = 3V_B$.

Теперь подставим это соотношение в формулу для работы $A_{BC}$:

$A_{BC} = 3p_0(V_C - V_B) = 3p_0(3V_B - V_B) = 3p_0(2V_B) = 6p_0V_B$.

Зная, что $A_{BC} = 8300$ Дж, получаем: $6p_0V_B = 8300$ Дж.

Из этого уравнения можно выразить величину $3p_0V_B$: $3p_0V_B = \frac{8300}{2} = 4150$ Дж.

Из уравнения состояния для точки B ($3p_0V_B = \nu R T_B$) мы можем найти температуру $T_B$:

$T_B = \frac{3p_0V_B}{\nu R} = \frac{4150 \text{ Дж}}{\nu R}$

Подставим известные значения $\nu = 1$ моль и $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К):

$T_B = \frac{4150}{1 \cdot 8.31} \approx 499.4$ К.

Заметим, что значение работы $A=8300$ Дж, вероятно, подобрано для упрощения расчетов, если принять $R=8.3$ Дж/(моль·К), так как $8300 = 8.3 \times 1000$. При таком значении $\text{R}$ получается ровный ответ: $T_B = \frac{4150}{1 \cdot 8.3} = 500$ К. Будем использовать это значение, как наиболее вероятное в рамках учебной задачи.

Итак, $T_B = 500$ К.

Теперь найдем температуру в состоянии C, $T_C$. Для изобарного процесса BC (закон Гей-Люссака) справедливо соотношение:

$\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}$

Отсюда $T_C = T_B \frac{V_C}{V_B}$.

Мы уже установили, что $V_C = 3V_B$, значит, отношение $\frac{V_C}{V_B} = 3$.

Тогда температура в состоянии C равна:

$T_C = 3 T_B = 3 \cdot 500 \text{ К} = 1500$ К.

Ответ:

Температура газа в состоянии B $T_B = 500$ К, в состоянии C $T_C = 1500$ К.