Номер 1, страница 209 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. В цилиндре тепловой машины находится одноатомный идеальный газ в количестве 1 моль. Определите КПД тепловой машины, если изменение состояния газа в цилиндре осуществляется по циклу, показанному на рисунке 3.17.

Решение. КПД тепловой машины

$\eta = \frac{Q_1 - |Q_2|}{Q_1} = \frac{A}{Q_1}$.

Количество теплоты

$Q_1 = Q_{AB} + Q_{BC}=$

$= mc_V(T_B - T_A) + mc_V(T_C - T_B) + 2p_0V_0,$

так как

$Q_{AB} = \Delta U_1, Q_{BC} = \Delta U_2 + A_1,$

$A_1 = 2p_0V_0, A = p_0V_0$ (площадь внутри синего прямоугольника).

Рис. 3.17

Тогда $\eta = \frac{p_0V_0}{mc_V(T_C - T_A) + 2p_0V_0}$.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для состояний А и В получим

$\frac{p_AV_A}{T_A} = \frac{p_BV_B}{T_B}$, или $\frac{p_0V_0}{T_A} = \frac{2p_0V_0}{T_B}$.

Отсюда $T_B = 2T_A$.

Для состояний С и В аналогично получим

$\frac{p_BV_B}{T_B} = \frac{p_CV_C}{T_C}$; $\frac{2p_0V_0}{T_B} = \frac{2p_02V_0}{T_C}$; $T_C = 2T_B = 4T_A$.

Обозначив $T_A = T_0$, подставим найденные значения $T_B$ и $T_C$ в выражение для КПД:

$\eta = \frac{p_0V_0}{mc_V(4T_0 - T_0) + 2p_0V_0}$.

Так как $\nu = 1$ моль, $C_V = \frac{3R}{2M}$, то $p_0V_0 = RT_0$, поэтому

$\eta = \frac{p_0V_0}{m\frac{3R}{2M}3T_0 + 2p_0V_0}=$

$= \frac{p_0V_0}{\frac{9}{2}p_0V_0 + 2p_0V_0} = \frac{2p_0V_0}{13p_0V_0} \approx 0,15$.

Дано:

Рабочее тело: одноатомный идеальный газ
Количество вещества: $\nu = 1$ моль
Циклический процесс A-B-C-D-A
Параметры в узловых точках:
$p_A = p_D = p_0$
$p_B = p_C = 2p_0$
$V_A = V_B = V_0$
$V_C = V_D = 2V_0$

Найти:

КПД тепловой машины, $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется как отношение полезной работы $A_{цикл}$, совершённой газом за цикл, к количеству теплоты $Q_1$, полученному от нагревателя:

$\eta = \frac{A_{цикл}}{Q_1}$

Полезная работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме p-V. В данном случае это площадь прямоугольника ABCD.

$A_{цикл} = (p_C - p_D)(V_C - V_B) = (2p_0 - p_0)(2V_0 - V_0) = p_0 V_0$

Теплота $Q_1$ подводится к газу на участках, где он получает энергию извне. Это происходит при нагревании. В данном цикле это участки A-B (изохорное нагревание) и B-C (изобарное расширение). Таким образом, общее количество полученной теплоты равно:

$Q_1 = Q_{AB} + Q_{BC}$

Для расчёта теплоты используем первый закон термодинамики $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

1. Участок A-B: изохорный процесс ($V = const$).

Работа газа равна нулю, $A_{AB} = 0$.

$Q_{AB} = \Delta U_{AB} + A_{AB} = \Delta U_{AB} = \frac{3}{2}\nu R (T_B - T_A)$

2. Участок B-C: изобарный процесс ($p = const$).

Работа газа $A_{BC} = p_B (V_C - V_B) = 2p_0 (2V_0 - V_0) = 2p_0 V_0$.

$Q_{BC} = \Delta U_{BC} + A_{BC} = \frac{3}{2}\nu R (T_C - T_B) + 2p_0 V_0$

Выразим температуры в точках A, B, C через параметры $p_0$ и $V_0$, используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$. Пусть температура в точке A равна $T_A$. Тогда $p_0 V_0 = \nu R T_A$.

Для точки B: $p_B V_B = (2p_0)V_0 = 2p_0 V_0 = \nu R T_B$. Отсюда $2(\nu R T_A) = \nu R T_B$, следовательно, $T_B = 2T_A$.

Для точки C: $p_C V_C = (2p_0)(2V_0) = 4p_0 V_0 = \nu R T_C$. Отсюда $4(\nu R T_A) = \nu R T_C$, следовательно, $T_C = 4T_A$.

Теперь подставим выражения для температур в формулы для теплоты:

$Q_{AB} = \frac{3}{2}\nu R (2T_A - T_A) = \frac{3}{2}\nu R T_A = \frac{3}{2}p_0 V_0$

$Q_{BC} = \frac{3}{2}\nu R (4T_A - 2T_A) + 2p_0 V_0 = \frac{3}{2}\nu R (2T_A) + 2p_0 V_0 = 3\nu R T_A + 2p_0 V_0 = 3p_0 V_0 + 2p_0 V_0 = 5p_0 V_0$

Суммарное количество полученной теплоты:

$Q_1 = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{3}{2}p_0 V_0 + 5p_0 V_0 = (\frac{3}{2} + \frac{10}{2})p_0 V_0 = \frac{13}{2}p_0 V_0$

Наконец, вычисляем КПД:

$\eta = \frac{A_{цикл}}{Q_1} = \frac{p_0 V_0}{\frac{13}{2}p_0 V_0} = \frac{1}{13/2} = \frac{2}{13}$

В числовом виде: $\eta = \frac{2}{13} \approx 0.154$.

Ответ: $\eta = \frac{2}{13}$.