Номер 38.6, страница 204 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

38.6. Определите удельную теплоёмкость водорода, гелия и кислорода при постоянном давлении. Сравните с табличными данными.

Дано:

Газы: водород ($H_2$), гелий ($\text{He}$), кислород ($O_2$)

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Молярная масса водорода: $M_{H_2} = 2 \text{ г/моль}$

Молярная масса гелия: $M_{He} = 4 \text{ г/моль}$

Молярная масса кислорода: $M_{O_2} = 32 \text{ г/моль}$

$M_{H_2} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
$M_{He} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
$M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

$c_{p, H_2}$, $c_{p, He}$, $c_{p, O_2}$ – удельные теплоёмкости при постоянном давлении.

Решение:

Удельная теплоёмкость вещества ($c_p$) при постоянном давлении связана с его молярной теплоёмкостью ($C_p$) и молярной массой ($\text{M}$) соотношением:

$c_p = \frac{C_p}{M}$

В свою очередь, молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении определяется по формуле, вытекающей из уравнения Майера и формулы для внутренней энергии:

$C_p = C_V + R = \frac{i}{2}R + R = \frac{i+2}{2} R$

где $\text{i}$ – число степеней свободы молекулы газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, а $C_V$ – молярная теплоёмкость при постоянном объеме.

Таким образом, итоговая формула для расчёта удельной теплоёмкости при постоянном давлении имеет вид:

$c_p = \frac{i+2}{2} \frac{R}{M}$

Число степеней свободы $\text{i}$ зависит от строения молекулы. Для одноатомных газов (гелий) молекула рассматривается как материальная точка, имеющая 3 степени свободы поступательного движения, то есть $i=3$. Для двухатомных газов (водород, кислород) при нормальных температурах молекула рассматривается как жёсткий объект, который имеет 3 степени свободы поступательного движения и 2 степени свободы вращательного движения, то есть $i=5$. Колебательные степени свободы для двухатомных молекул при обычных температурах не учитываются ("заморожены").

Проведем расчеты для каждого газа, используя переведенные в СИ значения молярных масс.

Водород (H₂)

Водород – двухатомный газ, поэтому число степеней свободы его молекулы $i_{H_2} = 5$.

Рассчитаем удельную теплоёмкость водорода:

$c_{p, H_2} = \frac{5+2}{2} \frac{R}{M_{H_2}} = \frac{7}{2} \frac{8,31 \text{ Дж/(моль·К)}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 3,5 \cdot 4155 \text{ Дж/(кг·К)} \approx 14543 \text{ Дж/(кг·К)}$

Сравним полученное значение с табличным: $c_{p, табл} \approx 14300 \text{ Дж/(кг·К)}$. Расчетное значение хорошо согласуется с табличным, относительное расхождение составляет $\frac{|14543 - 14300|}{14300} \cdot 100\% \approx 1,7\%$. Небольшое различие объясняется тем, что модель идеального газа является упрощением и не учитывает межмолекулярное взаимодействие и квантовые эффекты.

Ответ: Расчетное значение удельной теплоёмкости водорода при постоянном давлении составляет $c_p \approx 14543 \text{ Дж/(кг·К)}$.

Гелий (He)

Гелий – одноатомный газ, поэтому число степеней свободы его атома $i_{He} = 3$.

Рассчитаем удельную теплоёмкость гелия:

$c_{p, He} = \frac{3+2}{2} \frac{R}{M_{He}} = \frac{5}{2} \frac{8,31 \text{ Дж/(моль·К)}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 2,5 \cdot 2077,5 \text{ Дж/(кг·К)} \approx 5194 \text{ Дж/(кг·К)}$

Сравним полученное значение с табличным: $c_{p, табл} \approx 5200 \text{ Дж/(кг·К)}$. Расчетное значение практически совпадает с табличным, расхождение составляет $\frac{|5194 - 5200|}{5200} \cdot 100\% \approx 0,12\%$. Это говорит о высокой точности модели идеального одноатомного газа для описания гелия.

Ответ: Расчетное значение удельной теплоёмкости гелия при постоянном давлении составляет $c_p \approx 5194 \text{ Дж/(кг·К)}$.

Кислород (O₂)

Кислород – двухатомный газ, поэтому число степеней свободы его молекулы $i_{O_2} = 5$.

Рассчитаем удельную теплоёмкость кислорода:

$c_{p, O_2} = \frac{5+2}{2} \frac{R}{M_{O_2}} = \frac{7}{2} \frac{8,31 \text{ Дж/(моль·К)}}{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 3,5 \cdot 259,6875 \text{ Дж/(кг·К)} \approx 909 \text{ Дж/(кг·К)}$

Сравним полученное значение с табличным: $c_{p, табл} \approx 918 \text{ Дж/(кг·К)}$. Расхождение составляет $\frac{|909 - 918|}{918} \cdot 100\% \approx 0,98\%$. Это также является хорошим совпадением, подтверждающим адекватность теоретической модели для двухатомного газа при нормальных условиях.

Ответ: Расчетное значение удельной теплоёмкости кислорода при постоянном давлении составляет $c_p \approx 909 \text{ Дж/(кг·К)}$.