Номер 2, страница 203 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Чему равна молярная теплоёмкость идеального газа в процессе, в котором давление пропорционально объёму газа: $p = \alpha V$, если молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме равна $C_1$?

Решение. В соответствии с первым законом термодинамики

$Q = \Delta U + A = C_1 \Delta T + A$.

Работу $\text{A}$, совершаемую газом, взятым в количестве 1 моль, при расширении по закону $p = \alpha V$, можно рассчитать по формуле

$A = p_{cp}\Delta V=$

$= \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1)=$

$= \frac{\alpha(V_1 + V_2)}{2}(V_2 - V_1) = \frac{\alpha(V_2^2 - V_1^2)}{2}$.

Этот же результат легко найти, рассчитав площадь под графиком $p = \alpha V$ в координатах $p, V$.

Используя уравнение Менделеева—Клапейрона $pV = RT$ с учётом условия задачи ($p = \alpha V$), получаем $\alpha V^2 = RT$.

Подставив полученный результат в выражение для работы газа, будем иметь

$A = \frac{R}{2}(T_2 - T_1) = \frac{R}{2} \Delta T$.

Отсюда молярная теплоёмкость газа при данном процессе

$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{\left(C_1 \Delta T + \frac{R \Delta T}{2}\right)}{\Delta T} = C_1 + \frac{R}{2}$.

Дано:

Идеальный газ
Процесс: $p = \alpha V$, где $\alpha$ - константа
Молярная теплоёмкость при постоянном объёме: $C_V = C_1$

Найти:

Молярную теплоёмкость газа в данном процессе $\text{C}$.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, сообщённое газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение работы $\text{A}$ газом:
$Q = \Delta U + A$

Для одного моля идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U$ зависит только от изменения температуры $\Delta T$ и равно:
$\Delta U = C_V \Delta T$
По условию задачи, молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна $C_1$, следовательно:
$\Delta U = C_1 \Delta T$
Подставив это в первый закон термодинамики, получим:
$Q = C_1 \Delta T + A$

Работу $\text{A}$, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 2, можно найти как площадь под графиком процесса в координатах $p, V$. В данном случае график $p = \alpha V$ является прямой, проходящей через начало координат. Работа, совершаемая при изменении объёма от $V_1$ до $V_2$, равна площади трапеции:
$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1)$
Используя уравнение процесса $p = \alpha V$, мы можем заменить $p_1 = \alpha V_1$ и $p_2 = \alpha V_2$:
$A = \frac{\alpha V_1 + \alpha V_2}{2} (V_2 - V_1) = \frac{\alpha (V_1 + V_2)(V_2 - V_1)}{2} = \frac{\alpha(V_2^2 - V_1^2)}{2}$

Теперь выразим работу через температуру. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) для одного моля:
$pV = RT$
Подставим в него зависимость давления от объёма из условия задачи $p = \alpha V$:
$(\alpha V)V = RT \implies \alpha V^2 = RT$
Это соотношение связывает объём и температуру газа в данном процессе. Для начального и конечного состояний имеем:
$\alpha V_1^2 = RT_1$
$\alpha V_2^2 = RT_2$
Подставим эти выражения в формулу для работы:
$A = \frac{1}{2}(\alpha V_2^2 - \alpha V_1^2) = \frac{1}{2}(RT_2 - RT_1) = \frac{R}{2}(T_2 - T_1) = \frac{R}{2}\Delta T$

Теперь мы можем найти общее количество теплоты $\text{Q}$:
$Q = C_1 \Delta T + A = C_1 \Delta T + \frac{R}{2}\Delta T = \left(C_1 + \frac{R}{2}\right)\Delta T$

По определению, молярная теплоёмкость $\text{C}$ в некотором процессе равна:
$C = \frac{Q}{\Delta T}$
Подставим найденное выражение для $\text{Q}$:
$C = \frac{\left(C_1 + \frac{R}{2}\right)\Delta T}{\Delta T} = C_1 + \frac{R}{2}$

Ответ: Молярная теплоёмкость газа в данном процессе равна $C = C_1 + \frac{R}{2}$.