Номер 38.5, страница 204 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

38.5. Чему должна быть равна степень сжатия воздуха, чтобы его температура возросла с 20 до 800 °С? Сжатие считайте адиабатным, воздух — двухатомным газом.

Дано:

Начальная температура воздуха, $t_1 = 20 \text{ °C}$

Конечная температура воздуха, $t_2 = 800 \text{ °C}$

Процесс сжатия - адиабатный.

Воздух - двухатомный газ.

Перевод в систему СИ:

Для термодинамических расчетов температуру необходимо перевести в кельвины.

$T_1 = t_1 + 273.15 = 20 + 273.15 = 293.15 \text{ К}$

$T_2 = t_2 + 273.15 = 800 + 273.15 = 1073.15 \text{ К}$

Найти:

Степень сжатия $\epsilon = \frac{V_1}{V_2}$.

Решение:

Для адиабатного процесса (процесса без теплообмена с окружающей средой) связь между температурой $\text{T}$ и объемом $\text{V}$ газа описывается уравнением Пуассона:

$T V^{\gamma-1} = \text{const}$

Следовательно, для начального (1) и конечного (2) состояний газа можно записать:

$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$

где $\gamma$ - показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).

Воздух в данной задаче рассматривается как двухатомный газ (основные компоненты - азот $N_2$ и кислород $O_2$). Для идеального двухатомного газа число степеней свободы $i=5$. Показатель адиабаты вычисляется по формуле:

$\gamma = \frac{i+2}{i} = \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$

Степень сжатия $\epsilon$ по определению равна отношению начального объема к конечному: $\epsilon = \frac{V_1}{V_2}$. Выразим это отношение из уравнения Пуассона:

$\frac{V_1^{\gamma-1}}{V_2^{\gamma-1}} = \frac{T_2}{T_1}$

$(\frac{V_1}{V_2})^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1}$

Подставим определение степени сжатия:

$\epsilon^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1}$

Теперь выразим искомую величину $\epsilon$:

$\epsilon = (\frac{T_2}{T_1})^{\frac{1}{\gamma-1}}$

Подставим численные значения. Сначала вычислим показатель степени:

$\frac{1}{\gamma-1} = \frac{1}{1.4 - 1} = \frac{1}{0.4} = 2.5$

Теперь рассчитаем степень сжатия, используя температуры в кельвинах:

$\epsilon = (\frac{1073.15 \text{ К}}{293.15 \text{ К}})^{2.5} \approx (3.661)^{2.5}$

$\epsilon \approx 25.64$

Таким образом, чтобы температура воздуха возросла с 20 °C до 800 °C в результате адиабатного сжатия, его объем необходимо уменьшить примерно в 25.6 раз.

Ответ: степень сжатия должна быть равна примерно 25.6.