Номер 56.13, страница 290 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

56.13. Докажите, что мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, максимальна при равенстве электрического сопротивления внешнего участка цепи внутреннему сопротивлению источника.

Дано:

$\mathcal{E}$ - ЭДС источника тока
$\text{r}$ - внутреннее сопротивление источника тока
$\text{R}$ - сопротивление внешнего участка цепи

Найти:

Доказать, что мощность $\text{P}$, выделяемая на внешнем участке цепи, максимальна при $R = r$.

Решение:

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$ в цепи определяется выражением: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Мощность $\text{P}$, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$ (полезная мощность), вычисляется по формуле (закон Джоуля-Ленца): $P = I^2 R$

Подставим выражение для силы тока в формулу для мощности, чтобы получить зависимость мощности от внешнего сопротивления $P(R)$: $P(R) = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Для данного источника ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $\text{r}$ являются постоянными величинами. Чтобы найти условие, при котором мощность $P(R)$ максимальна, необходимо исследовать эту функцию на экстремум. Для этого найдем ее производную по переменной $\text{R}$ и приравняем к нулю.

Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(R) = \mathcal{E}^2 R$ и $v(R) = (R+r)^2$.
Производные этих функций: $u'(R) = \mathcal{E}^2$ и $v'(R) = 2(R+r)$.

$\frac{dP}{dR} = \frac{\mathcal{E}^2 \cdot (R+r)^2 - \mathcal{E}^2 R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4}$

Вынесем общий множитель $\mathcal{E}^2(R+r)$ в числителе и сократим дробь: $\frac{dP}{dR} = \frac{\mathcal{E}^2(R+r)[(R+r) - 2R]}{(R+r)^4} = \frac{\mathcal{E}^2(r - R)}{(R+r)^3}$

Условие экстремума — равенство производной нулю: $\frac{\mathcal{E}^2(r - R)}{(R+r)^3} = 0$

Так как $\mathcal{E} \neq 0$ и знаменатель $(R+r)^3 > 0$ (сопротивления всегда положительны), равенство нулю возможно только если числитель равен нулю: $r - R = 0$
Следовательно, $R = r$.

Убедимся, что это точка максимума, исследовав знак производной в окрестности точки $R=r$. Знак $\frac{dP}{dR}$ определяется знаком выражения $(r-R)$, так как остальные множители положительны.

- Если $R < r$, то $(r-R) > 0$, следовательно, $\frac{dP}{dR} > 0$. Функция $P(R)$ на этом интервале возрастает.

- Если $R > r$, то $(r-R) < 0$, следовательно, $\frac{dP}{dR} < 0$. Функция $P(R)$ на этом интервале убывает.

Поскольку при переходе через точку $R=r$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума. Таким образом, доказано, что мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, максимальна, когда его сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.

Ответ:

Доказано, что мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, максимальна при равенстве электрического сопротивления внешнего участка цепи ($\text{R}$) внутреннему сопротивлению источника ($\text{r}$).