Номер 2, страница 293 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Докажите, что при параллельном включении проводников обратная величина общего сопротивления цепи равна сумме обратных величин сопротивлений всех параллельно включённых проводников.

2. Дано:

Электрическая цепь, состоящая из $\text{n}$ проводников, соединенных параллельно. Сопротивления проводников равны $R_1, R_2, \dots, R_n$. Общее (эквивалентное) сопротивление цепи — $R_{общ}$.

Найти:

Доказать, что $ \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} $.

Решение:

При параллельном соединении проводников справедливы следующие утверждения:

1. Напряжение $\text{U}$ на концах всех параллельно соединенных проводников одинаково:

$U_1 = U_2 = \dots = U_n = U$

2. Общая сила тока $I_{общ}$ в цепи до разветвления равна сумме сил токов в каждой из параллельных ветвей (согласно первому правилу Кирхгофа):

$I_{общ} = I_1 + I_2 + \dots + I_n$

Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока $\text{I}$ связана с напряжением $\text{U}$ и сопротивлением $\text{R}$ соотношением:

$I = \frac{U}{R}$

Применим закон Ома для всей цепи, чтобы выразить общий ток через общее сопротивление $R_{общ}$ и напряжение $\text{U}$:

$I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}}$

Теперь применим закон Ома для каждой отдельной ветви, чтобы выразить токи $I_1, I_2, \dots, I_n$ через их сопротивления $R_1, R_2, \dots, R_n$ и общее для них напряжение $\text{U}$:

$I_1 = \frac{U}{R_1}; \quad I_2 = \frac{U}{R_2}; \quad \dots; \quad I_n = \frac{U}{R_n}$

Подставим выражения для общего тока и токов в каждой ветви в уравнение для суммы токов $I_{общ} = I_1 + I_2 + \dots + I_n$:

$\frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \dots + \frac{U}{R_n}$

В каждом члене этого уравнения присутствует напряжение $\text{U}$. Так как при наличии тока в цепи напряжение не равно нулю ($U \neq 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $\text{U}$:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$

Таким образом, мы доказали, что при параллельном соединении проводников обратная величина общего сопротивления цепи равна сумме обратных величин сопротивлений всех параллельно включенных проводников.

Ответ: Утверждение доказано. Используя законы для параллельного соединения проводников и закон Ома, было выведено соотношение $ \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} $, что и требовалось доказать.