Номер 56.14, страница 290 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

56.14. К источнику тока с ЭДС $\mathcal{E}$ = 10 В и внутренним сопротивлением $\text{r}$ = 1 Ом подключена система из четырёх резисторов сопротивлением $\text{R}$ = 1 Ом каждый. Как нужно соединить эти резисторы, чтобы в них выделилась максимальная мощность?

Дано:

ЭДС источника тока: $\mathcal{E} = 10 \text{ В}$

Внутреннее сопротивление источника: $r = 1 \text{ Ом}$

Количество резисторов: $n = 4$

Сопротивление каждого резистора: $R = 1 \text{ Ом}$

Найти:

Способ соединения резисторов для получения максимальной мощности, выделяемой на них.

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи (на системе резисторов), определяется формулой:

$P_{внешн} = I^2 \cdot R_{внешн}$

где $\text{I}$ – сила тока в цепи, а $R_{внешн}$ – эквивалентное сопротивление внешней цепи.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внешн} + r}$

Подставив выражение для силы тока в формулу мощности, получим:

$P_{внешн} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{внешн} + r}\right)^2 \cdot R_{внешн} = \frac{\mathcal{E}^2 \cdot R_{внешн}}{(R_{внешн} + r)^2}$

Для нахождения условия, при котором мощность, выделяемая во внешней цепи, будет максимальной, нужно исследовать эту функцию на экстремум. Возьмем производную мощности $P_{внешн}$ по переменной $R_{внешн}$ и приравняем её к нулю.

$\frac{dP_{внешн}}{dR_{внешн}} = \mathcal{E}^2 \cdot \frac{(R_{внешн} + r)^2 - R_{внешн} \cdot 2(R_{внешн} + r)}{(R_{внешн} + r)^4} = \mathcal{E}^2 \cdot \frac{R_{внешн} + r - 2R_{внешн}}{(R_{внешн} + r)^3} = \mathcal{E}^2 \cdot \frac{r - R_{внешн}}{(R_{внешн} + r)^3}$

Производная равна нулю при $r - R_{внешн} = 0$, то есть $R_{внешн} = r$.

Таким образом, мощность, выделяемая на внешней нагрузке, максимальна, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника тока.

В нашем случае внутреннее сопротивление источника $r = 1 \text{ Ом}$. Следовательно, для получения максимальной мощности необходимо, чтобы эквивалентное сопротивление системы из четырех резисторов было равно $1 \text{ Ом}$.

Рассмотрим различные способы соединения четырех резисторов сопротивлением $R = 1 \text{ Ом}$ каждый и найдем тот, который даст эквивалентное сопротивление $R_{внешн} = 1 \text{ Ом}$.

1. Последовательное соединение всех резисторов:

$R_{внешн} = R + R + R + R = 4R = 4 \cdot 1 = 4 \text{ Ом}$. Это не подходит.

2. Параллельное соединение всех резисторов:

$R_{внешн} = \frac{R}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ Ом}$. Это не подходит.

3. Смешанное соединение. Рассмотрим схему, где две параллельные ветви, в каждой из которых по два резистора соединены последовательно (схема "квадрат").

Сопротивление каждой ветви: $R_{ветвь} = R + R = 2R = 2 \cdot 1 = 2 \text{ Ом}$.

Эквивалентное сопротивление двух таких параллельных ветвей:

$R_{внешн} = \frac{R_{ветвь} \cdot R_{ветвь}}{R_{ветвь} + R_{ветвь}} = \frac{R_{ветвь}}{2} = \frac{2 \text{ Ом}}{2} = 1 \text{ Ом}$.

Это значение совпадает с внутренним сопротивлением источника $\text{r}$. Следовательно, именно такое соединение обеспечит выделение максимальной мощности.

Существует и другая схема с таким же эквивалентным сопротивлением: два блока, состоящие из двух параллельно соединенных резисторов, соединены последовательно. Сопротивление каждого блока $R_{блок} = R/2 = 0.5 \text{ Ом}$. Общее сопротивление $R_{внешн} = R_{блок} + R_{блок} = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ Ом}$.

Обе эти схемы удовлетворяют условию.

Ответ: Для того чтобы на резисторах выделилась максимальная мощность, их необходимо соединить таким образом, чтобы их общее эквивалентное сопротивление было равно внутреннему сопротивлению источника, то есть $1 \text{ Ом}$. Этого можно достичь, например, соединив резисторы в две параллельные ветви, в каждой из которых находится по два последовательно соединенных резистора.