Номер 4, страница 27 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 8. Перемещение - номер 4, страница 27.

Условие.

4. Будет ли путь равен модулю перемещения при вращательном движении?

Решение.

4. Нет, при вращательном движении путь практически никогда не равен модулю перемещения.

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории, пройденной телом. При вращательном движении тело движется по дуге окружности, и путь равен длине этой дуги.

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это длина этого вектора, то есть длина хорды, соединяющей начальную и конечную точки траектории.

Для любой криволинейной траектории, включая дугу окружности, длина дуги всегда больше длины стягивающей ее хорды. Равенство достигается только для бесконечно малого участка траектории.

Например:

- Если тело совершит полный оборот по окружности радиусом $R$, то его путь будет равен длине окружности, $S = 2\pi R$. При этом тело вернется в начальную точку, поэтому его перемещение будет равно нулю.

- Если тело пройдет половину окружности, его путь будет равен $S = \pi R$, а модуль перемещения будет равен диаметру окружности, $|\vec{\Delta r}| = 2R$. Поскольку $\pi \approx 3.14 > 2$, путь и в этом случае будет больше модуля перемещения.

Равенство пути и модуля перемещения выполняется только в одном случае – при прямолинейном движении без изменения направления.

Ответ: Нет, путь не будет равен модулю перемещения, так как при вращательном движении траектория криволинейна, и длина дуги (путь) не равна длине стягивающей ее хорды (модуль перемещения).

5. Дано:

Длина минутной стрелки: $L = 10 \text{ см}$
Промежуток времени 1: $t_1 = 30 \text{ мин}$
Промежуток времени 2: $t_2 = 1 \text{ час}$

Перевод в СИ:
$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$t_1 = 30 \text{ мин} = 1800 \text{ с}$
$t_2 = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Путь $S_1$ и модуль перемещения $|\vec{\Delta r}_1|$ за 30 мин.
Путь $S_2$ и модуль перемещения $|\vec{\Delta r}_2|$ за 1 час.

Решение:

Конец минутной стрелки движется по окружности, радиус которой равен длине стрелки: $R = L = 10 \text{ см}$.

Расчет для промежутка времени 30 минут:

За 30 минут минутная стрелка совершает половину полного оборота ($30/60 = 1/2$).Путь, пройденный концом стрелки, равен половине длины окружности:$S_1 = \frac{1}{2} \cdot C = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R = \pi R$
$S_1 = \pi \cdot 10 \text{ см} = 10\pi \text{ см} \approx 31.4 \text{ см}$.

Перемещение – это вектор, направленный из начального положения конца стрелки в конечное. За 30 минут конец стрелки переместится в диаметрально противоположную точку. Модуль перемещения равен диаметру окружности:$|\vec{\Delta r}_1| = 2R$
$|\vec{\Delta r}_1| = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Расчет для промежутка времени 1 час:

За 1 час (60 минут) минутная стрелка совершает один полный оборот и возвращается в исходное положение.Путь, пройденный концом стрелки, равен длине всей окружности:$S_2 = C = 2\pi R$
$S_2 = 2\pi \cdot 10 \text{ см} = 20\pi \text{ см} \approx 62.8 \text{ см}$.

Так как за 1 час конец стрелки возвращается в свое начальное положение, вектор перемещения является нулевым, и его модуль равен нулю:$|\vec{\Delta r}_2| = 0 \text{ см}$.

Ответ: За 30 минут путь равен $10\pi$ см (приблизительно 31.4 см), а модуль перемещения равен 20 см. За 1 час путь равен $20\pi$ см (приблизительно 62.8 см), а модуль перемещения равен 0.