Номер 4, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 9. Скорость. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 4, страница 33.

Условие.

4. Что такое вектор мгновенной скорости? Куда он направлен? Почему?

Решение.

Что такое вектор мгновенной скорости?

Вектор мгновенной скорости (или просто мгновенная скорость) — это векторная физическая величина, которая характеризует скорость и направление движения материальной точки в конкретный момент времени в конкретной точке её траектории.

С математической точки зрения, мгновенная скорость $\vec{v}$ является пределом отношения вектора перемещения $\Delta \vec{r}$ к очень малому промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло, при условии, что $\Delta t$ стремится к нулю. Это определение соответствует первой производной радиус-вектора точки $\vec{r}$ по времени $t$:

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

Ответ: Вектор мгновенной скорости — это физическая величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени.

Куда он направлен?

Вектор мгновенной скорости в любой точке траектории направлен по касательной к этой траектории. Направление вектора совпадает с тем направлением, в котором движется тело в данный момент времени.

Ответ: Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения в данной точке.

Почему?

Направление вектора мгновенной скорости следует из его определения как предела. Рассмотрим движение точки. Пусть в момент времени $t$ она находится в точке $A$, а в более поздний момент $t + \Delta t$ — в точке $B$. Вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ за этот промежуток времени — это вектор, соединяющий точки $A$ и $B$. Он представляет собой хорду траектории.

Средняя скорость за этот промежуток, $\vec{v}_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$, направлена так же, как и вектор перемещения $\Delta \vec{r}$, то есть вдоль хорды $AB$.

Чтобы найти мгновенную скорость в точке $A$, мы устремляем промежуток времени $\Delta t$ к нулю. При этом точка $B$ будет приближаться к точке $A$ по траектории. В предельном случае, когда $B$ сольётся с $A$, хорда $AB$ превратится в касательную к траектории в точке $A$.

Поскольку вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ является пределом вектора средней скорости $\vec{v}_{ср}$, его направление будет совпадать с предельным направлением вектора перемещения $\Delta \vec{r}$, то есть с направлением касательной к траектории.

Ответ: Направление вектора мгновенной скорости определяется как предельное направление вектора перемещения. Вектор перемещения за малый промежуток времени направлен по хорде траектории. Когда промежуток времени стремится к нулю, эта хорда становится касательной к траектории, задавая тем самым направление вектору мгновенной скорости.