Номер 3, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 9. Скорость. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 3, страница 33.

Условие.

3. Материальная точка переместилась с постоянной скоростью по прямой из точки 1 с координатами $x_1 = 6 \text{ см}$, $y_1 = 5 \text{ см}$ в точку 2 с координатами $x_2 = 2 \text{ см}$, $y_2 = 9 \text{ см}$ за $2 \text{ с}$. Какой угол образует скорость точки с осью $\text{X}$? Чему равен модуль скорости?

Решение.

Дано:

Начальные координаты точки 1: $x_1 = 6$ см, $y_1 = 5$ см

Конечные координаты точки 2: $x_2 = 2$ см, $y_2 = 9$ см

Время перемещения: $t = 2$ с

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 0.06$ м

$y_1 = 0.05$ м

$x_2 = 0.02$ м

$y_2 = 0.09$ м

$t = 2$ с

Найти:

Угол $\alpha$ вектора скорости с осью X.

Модуль скорости $|v|$.

Решение:

Поскольку движение происходит с постоянной скоростью по прямой, вектор скорости $\vec{v}$ сонаправлен с вектором перемещения $\Delta \vec{r}$.

1. Найдем проекции вектора перемещения $\Delta \vec{r}$ на оси координат X и Y.

Проекция на ось X: $\Delta x = x_2 - x_1 = 0.02 \text{ м} - 0.06 \text{ м} = -0.04 \text{ м}$.

Проекция на ось Y: $\Delta y = y_2 - y_1 = 0.09 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$.

2. Найдем проекции вектора скорости $\vec{v}$ на оси координат.

Проекция скорости на ось X: $v_x = \frac{\Delta x}{t} = \frac{-0.04 \text{ м}}{2 \text{ с}} = -0.02 \text{ м/с}$.

Проекция скорости на ось Y: $v_y = \frac{\Delta y}{t} = \frac{0.04 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 0.02 \text{ м/с}$.

Теперь, зная компоненты вектора скорости, можем ответить на вопросы задачи.

Какой угол образует скорость точки с осью X?

Угол $\alpha$, который вектор скорости образует с положительным направлением оси X, можно найти через тангенс этого угла, который равен отношению проекций скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{0.02 \text{ м/с}}{-0.02 \text{ м/с}} = -1$.

Поскольку проекция скорости на ось X отрицательна ($v_x < 0$), а на ось Y положительна ($v_y > 0$), вектор скорости направлен во вторую координатную четверть. Угол, тангенс которого равен -1 и который находится во второй четверти, равен $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$ радиан).

Ответ: Угол, который образует скорость точки с осью X, равен $135^\circ$.

Чему равен модуль скорости?

Модуль (или величина) скорости вычисляется по теореме Пифагора, используя проекции скорости на оси координат:

$|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-0.02 \text{ м/с})^2 + (0.02 \text{ м/с})^2}$.

$|v| = \sqrt{0.0004 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 0.0004 \text{ м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{0.0008 \text{ м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{8 \times 10^{-4}} \text{ м/с} = 2\sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ м/с}$.

Приближенное значение: $|v| \approx 2 \times 1.414 \times 10^{-2} \text{ м/с} \approx 0.0283 \text{ м/с}$.

Также можно выразить ответ в см/с: $|v| = 2\sqrt{2}$ см/с $\approx 2.83$ см/с.

Ответ: Модуль скорости равен $2\sqrt{2} \times 10^{-2}$ м/с (или $2\sqrt{2}$ см/с).