Номер 1, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 9. Скорость. Задачи - номер 1, страница 33.

Условие.

1. Докажите, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта A в пункт B со скоростью $v_1$, а из B в A — со скоростью $v_2$, меньше либо равна $(v_1 + v_2)/2$.

Решение.

Дано:

$v_1$ - скорость автобуса из пункта А в пункт В.
$v_2$ - скорость автобуса из пункта В в пункт А.

Найти:

Доказать, что средняя скорость $v_{ср}$ на всём пути удовлетворяет неравенству: $v_{ср} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$.

Решение:

Средняя скорость $v_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $t_{общ}$.
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть расстояние между пунктами А и В равно $S$. Тогда общий путь, пройденный автобусом, равен сумме путей из А в В и обратно из В в А:
$S_{общ} = S + S = 2S$

Время, затраченное на путь из А в В, составляет $t_1 = \frac{S}{v_1}$.
Время, затраченное на обратный путь из В в А, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2}$.

Общее время в пути равно сумме времён $t_1$ и $t_2$:
$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2} = S (\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) = S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{2S}{S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2}{\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Мы получили выражение для средней скорости, которое называется средним гармоническим двух скоростей. Теперь нам необходимо доказать неравенство:
$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$

Поскольку скорости $v_1$ и $v_2$ — величины положительные ($v_1 > 0$, $v_2 > 0$), то их сумма $(v_1 + v_2)$ также положительна. Мы можем умножить обе части неравенства на $2(v_1 + v_2) > 0$, не меняя знака неравенства:
$2 \cdot (2v_1 v_2) \le (v_1 + v_2) \cdot (v_1 + v_2)$
$4v_1 v_2 \le (v_1 + v_2)^2$

Раскроем квадрат суммы в правой части неравенства:
$4v_1 v_2 \le v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2$

Перенесём $4v_1 v_2$ в правую часть с противоположным знаком:
$0 \le v_1^2 + 2v_1 v_2 - 4v_1 v_2 + v_2^2$
$0 \le v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2$

Выражение в правой части является формулой квадрата разности:
$0 \le (v_1 - v_2)^2$

Полученное неравенство истинно для любых действительных значений $v_1$ и $v_2$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. больше или равен нулю). Равенство достигается только при условии $v_1 - v_2 = 0$, то есть когда $v_1 = v_2$.

Так как мы пришли к истинному неравенству путём равносильных преобразований, то и исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $v_{ср} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$ доказано. Средняя скорость на всём пути (среднее гармоническое) всегда меньше или равна среднему арифметическому скоростей на участках, причём равенство достигается только при движении с одинаковыми скоростями туда и обратно.