Номер 1, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Авторы: Касьянов В. А.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: белый самолет и молнии изображены
ISBN: 978-5-09-103621-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Задачи. Параграф 9. Скорость. 2. Кинематика материальной точки. Механика - номер 1, страница 33.
№1 (с. 33)
Условие. №1 (с. 33)
скриншот условия

1. Докажите, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта A в пункт B со скоростью $v_1$, а из B в A — со скоростью $v_2$, меньше либо равна $(v_1 + v_2)/2$.
Решение. №1 (с. 33)
Дано:
$v_1$ - скорость автобуса из пункта А в пункт В.
$v_2$ - скорость автобуса из пункта В в пункт А.
Найти:
Доказать, что средняя скорость $v_{ср}$ на всём пути удовлетворяет неравенству: $v_{ср} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$.
Решение:
Средняя скорость $v_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $t_{общ}$.
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$
Пусть расстояние между пунктами А и В равно $S$. Тогда общий путь, пройденный автобусом, равен сумме путей из А в В и обратно из В в А:
$S_{общ} = S + S = 2S$
Время, затраченное на путь из А в В, составляет $t_1 = \frac{S}{v_1}$.
Время, затраченное на обратный путь из В в А, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2}$.
Общее время в пути равно сумме времён $t_1$ и $t_2$:
$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2} = S (\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) = S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$
Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{2S}{S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2}{\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
Мы получили выражение для средней скорости, которое называется средним гармоническим двух скоростей. Теперь нам необходимо доказать неравенство:
$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$
Поскольку скорости $v_1$ и $v_2$ — величины положительные ($v_1 > 0$, $v_2 > 0$), то их сумма $(v_1 + v_2)$ также положительна. Мы можем умножить обе части неравенства на $2(v_1 + v_2) > 0$, не меняя знака неравенства:
$2 \cdot (2v_1 v_2) \le (v_1 + v_2) \cdot (v_1 + v_2)$
$4v_1 v_2 \le (v_1 + v_2)^2$
Раскроем квадрат суммы в правой части неравенства:
$4v_1 v_2 \le v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2$
Перенесём $4v_1 v_2$ в правую часть с противоположным знаком:
$0 \le v_1^2 + 2v_1 v_2 - 4v_1 v_2 + v_2^2$
$0 \le v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2$
Выражение в правой части является формулой квадрата разности:
$0 \le (v_1 - v_2)^2$
Полученное неравенство истинно для любых действительных значений $v_1$ и $v_2$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. больше или равен нулю). Равенство достигается только при условии $v_1 - v_2 = 0$, то есть когда $v_1 = v_2$.
Так как мы пришли к истинному неравенству путём равносильных преобразований, то и исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $v_{ср} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$ доказано. Средняя скорость на всём пути (среднее гармоническое) всегда меньше или равна среднему арифметическому скоростей на участках, причём равенство достигается только при движении с одинаковыми скоростями туда и обратно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 33 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №1 (с. 33), автора: Касьянов (Валерий Алексеевич), ФГОС (старый) углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.