Номер 3, страница 373 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 79. Закон Кулона. Задачи - номер 3, страница 373.

Условие.

3. Два одинаковых шарика массой 44,1 г подвешены на нитях длиной 0,5 м в одной точке. При сообщении шарикам одинаковых избыточных зарядов они оттолкнулись друг от друга так, что угол между нитями стал равным 90°. Найдите значения избыточных зарядов на шариках.

Решение.

Дано:

Масса каждого шарика: $m = 44,1 \text{ г}$

Длина нити: $L = 0,5 \text{ м}$

Угол между нитями: $\theta = 90^\circ$

Заряды шариков одинаковы: $q_1 = q_2 = q$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Коэффициент в законе Кулона: $k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

Перевод в СИ:

$m = 44,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,0441 \text{ кг}$

Найти:

Значение заряда: $q$

Решение:

После того как шарикам сообщили заряды, они оттолкнулись и установились в положении равновесия. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждый шарик, равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков (например, правый):

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.
3. Сила Кулона (электростатического отталкивания) $F_e$, направленная горизонтально от другого шарика.

Поскольку система симметрична, угол каждой нити с вертикалью будет равен $\alpha = \frac{\theta}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Запишем условие равновесия в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси. Для этого разложим силу натяжения нити $T$ на компоненты:

• Вертикальная составляющая: $T_y = T \cos \alpha$
• Горизонтальная составляющая: $T_x = T \sin \alpha$

Условия равновесия:

По оси Y: $T_y - F_g = 0 \implies T \cos \alpha = mg$ (1)

По оси X: $F_e - T_x = 0 \implies F_e = T \sin \alpha$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить неизвестную силу натяжения $T$:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{F_e}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{F_e}{mg}$

Отсюда можно выразить силу Кулона:

$F_e = mg \tan \alpha$

Сила Кулона также определяется по формуле:

$F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$, где $r$ - расстояние между шариками.

Найдем расстояние $r$ из геометрии. Оно равно двум горизонтальным катетам в треугольнике, образованном нитью, вертикалью и горизонталью. Длина катета равна $L \sin \alpha$.

$r = 2L \sin \alpha$

Приравняем два выражения для силы Кулона:

$mg \tan \alpha = k \frac{q^2}{(2L \sin \alpha)^2}$

Выразим отсюда искомый заряд $q$:

$q^2 = \frac{mg \tan \alpha \cdot (2L \sin \alpha)^2}{k} = \frac{4 L^2 \sin^2 \alpha \cdot mg \tan \alpha}{k}$

$q = \sqrt{\frac{4 L^2 \sin^2 \alpha \cdot mg \tan \alpha}{k}} = 2L \sin \alpha \sqrt{\frac{mg \tan \alpha}{k}}$

Подставим числовые значения. Учитывая, что $\alpha = 45^\circ$, имеем $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\tan 45^\circ = 1$.

$q = 2 \cdot 0,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{0,0441 \cdot 9,8 \cdot 1}{9 \cdot 10^9}}$

$q = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{0,43218}{9 \cdot 10^9}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{0,04802 \cdot 10^{-9}}$

$q = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{48,02 \cdot 10^{-12}} \approx 0,7071 \cdot 6,93 \cdot 10^{-6} \approx 4,9 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Проведем вычисления другим, более точным способом, чтобы избежать промежуточных округлений:

$F_e = mg \tan(45^\circ) = 0,0441 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 = 0,43218 \text{ Н}$

$r = 2L \sin(45^\circ) = 2 \cdot 0,5 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$

$r^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = 0,5 \text{ м}^2$

Теперь из закона Кулона $F_e = k \frac{q^2}{r^2}$ найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{F_e \cdot r^2}{k} = \frac{0,43218 \cdot 0,5}{9 \cdot 10^9} = \frac{0,21609}{9 \cdot 10^9} = 0,02401 \cdot 10^{-9} = 24,01 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2$

$q = \sqrt{24,01 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2} = 4,9 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Это значение можно также выразить в микрокулонах: $4,9$ мкКл.

Ответ: значение избыточного заряда на каждом шарике равно $4,9 \cdot 10^{-6}$ Кл или $4,9$ мкКл.