Номер 4, страница 373 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 79. Закон Кулона. Задачи - номер 4, страница 373.

Условие.

4. Согласно классической модели атома водорода, электрон вращается вокруг протона по круговой орбите радиусом $r = 5,3 \cdot 10^{-11}$ м. Найдите период обращения электрона, его угловую и линейную скорости. Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг.

Решение.

Дано:

Радиус орбиты электрона, $r = 5,3 \cdot 10^{-11}$ м
Масса электрона, $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг
Элементарный заряд, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл (заряд электрона и протона по модулю)
Электрическая постоянная, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Период обращения электрона, $T$ — ?
Угловую скорость, $\omega$ — ?
Линейную скорость, $v$ — ?

Решение:

Согласно классической модели, электрон движется по круговой орбите под действием кулоновской силы притяжения к протону. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает электрон на орбите.

Запишем второй закон Ньютона для электрона. Сила Кулона $F_к$ сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_к = m_e a_ц$

Центростремительное ускорение выражается через линейную скорость $v$ как $a_ц = \frac{v^2}{r}$. Сила Кулона определяется законом Кулона: $F_к = k \frac{|q_e q_p|}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$.

Таким образом, основное уравнение для решения задачи:

$k \frac{e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

Из этого уравнения мы можем последовательно найти все искомые величины.

Линейная скорость

Выразим линейную скорость $v$ из основного уравнения:

$v^2 = k \frac{e^2}{m_e r}$

$v = \sqrt{k \frac{e^2}{m_e r}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \text{ Н·м²/Кл²} \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 5,3 \cdot 10^{-11} \text{ м}}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 2,56}{9,1 \cdot 5,3} \cdot \frac{10^9 \cdot 10^{-38}}{10^{-31} \cdot 10^{-11}}} \text{ м/с}$

$v = \sqrt{\frac{23,04}{48,23} \cdot 10^{13}} \text{ м/с} = \sqrt{0,4777 \cdot 10^{13}} \text{ м/с} = \sqrt{4,777 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} \approx 2,2 \cdot 10^6$ м/с.

Ответ: Линейная скорость электрона $v \approx 2,2 \cdot 10^6$ м/с.

Угловая скорость

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $r$ соотношением:

$\omega = \frac{v}{r}$

Подставим найденное значение $v$ (используя более точное значение до округления для большей точности промежуточных вычислений) и данное значение $r$:

$\omega = \frac{2,186 \cdot 10^6 \text{ м/с}}{5,3 \cdot 10^{-11} \text{ м}} \approx 0,412 \cdot 10^{17}$ рад/с $= 4,1 \cdot 10^{16}$ рад/с.

Ответ: Угловая скорость электрона $\omega \approx 4,1 \cdot 10^{16}$ рад/с.

Период обращения

Период обращения $T$ — это время, за которое электрон совершает один полный оборот. Он связан с угловой скоростью:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим значение угловой скорости (также используя более точное значение):

$T = \frac{2 \cdot 3,14}{4,12 \cdot 10^{16} \text{ рад/с}} \approx \frac{6,28}{4,12} \cdot 10^{-16}$ с $\approx 1,5 \cdot 10^{-16}$ с.

Для проверки можно найти период через линейную скорость: $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 5,3 \cdot 10^{-11} \text{ м}}{2,2 \cdot 10^6 \text{ м/с}} \approx 1,5 \cdot 10^{-16}$ с. Результаты совпадают.

Ответ: Период обращения электрона $T \approx 1,5 \cdot 10^{-16}$ с.