Номер 5, страница 376 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 80. Равновесие статических зарядов. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 5, страница 376.

Условие.

5. Объясните, почему равновесие статических зарядов неустойчиво.

Решение.

Равновесие системы статических зарядов, удерживаемых только за счёт электростатического взаимодействия, не может быть устойчивым. Это фундаментальное утверждение известно как теорема Ирншоу.

Чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, чтобы в точке равновесия потенциальная энергия $W_p$ заряда имела локальный минимум. Это означает, что при любом малом смещении заряда из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, стремящаяся вернуть его обратно, то есть направленная в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Потенциальная энергия $W_p$ пробного заряда $q$ в электрическом поле связана с электростатическим потенциалом $\phi$ этого поля соотношением $W_p = q\phi$. Следовательно, для устойчивого равновесия положительного заряда ($q>0$) требуется локальный минимум потенциала $\phi$, а для отрицательного ($q<0$) — локальный максимум.

Однако в области пространства, где нет зарядов, создающих поле, электростатический потенциал $\phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа:
$ \Delta \phi = \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 $
Это следует из теоремы Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме ($\nabla \cdot \vec{E} = 0$ в отсутствие зарядов) и определения потенциала ($\vec{E} = -\nabla \phi$).

Ключевое свойство функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (так называемых гармонических функций), заключается в том, что они не могут иметь локальных экстремумов (минимумов или максимумов) внутри области. Экстремумы потенциала могут существовать только в тех точках, где расположены сами заряды — источники поля.

Таким образом, в пустом пространстве невозможно создать точку локального минимума или максимума потенциальной энергии для заряда, используя только статические заряды. В точке равновесия (где сила равна нулю) потенциальная энергия будет иметь не минимум, а "седловую точку". Это означает, что при смещении в одних направлениях сила будет возвращающей, а в других — отталкивающей, что делает равновесие неустойчивым.

Ответ: Равновесие статических зарядов, обусловленное только электростатическими силами, является неустойчивым. Это следует из теоремы Ирншоу, согласно которой электростатический потенциал в свободном от зарядов пространстве не может иметь локальных минимумов или максимумов (он подчиняется уравнению Лапласа). Поскольку для устойчивого равновесия требуется наличие локального минимума потенциальной энергии ($W_p = q\phi$), а создать его с помощью статических зарядов невозможно, любое такое равновесие будет неустойчивым: при малом смещении заряда всегда найдётся направление, в котором сила будет не возвращать его обратно, а уводить ещё дальше.