Номер 4, страница 376 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 80. Равновесие статических зарядов. Задачи - номер 4, страница 376.

Условие.

4. Три одинаковых точечных отрицательных заряда $q = -10 \text{ мкКл}$ расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Решение.

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q = -10 \text{ мкКл}$

$q = -10 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$Q$ - ?

Решение:

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю. В силу симметрии системы достаточно рассмотреть условие равновесия для одного из зарядов, расположенных в вершине треугольника. Пусть это будет заряд $q_1$.

На заряд $q_1$ действуют три силы:

1. Сила Кулона со стороны заряда $q_2$, $\vec{F}_{21}$.
2. Сила Кулона со стороны заряда $q_3$, $\vec{F}_{31}$.
3. Сила Кулона со стороны центрального заряда $Q$, $\vec{F}_{Q1}$.

Условие равновесия для заряда $q_1$ запишется в виде:

$\vec{F}_{21} + \vec{F}_{31} + \vec{F}_{Q1} = 0$

Заряды $q_1$, $q_2$ и $q_3$ одинаковы и отрицательны, поэтому силы $\vec{F}_{21}$ и $\vec{F}_{31}$ являются силами отталкивания. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда модули этих сил равны:

$F_{21} = F_{31} = k \frac{|q| \cdot |q|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

где $k$ – постоянная Кулона. Угол между векторами $\vec{F}_{21}$ и $\vec{F}_{31}$ равен $60^\circ$, так как треугольник равносторонний.

Найдем равнодействующую этих двух сил $\vec{F}_R = \vec{F}_{21} + \vec{F}_{31}$. Ее модуль можно найти по теореме косинусов:

$F_R = \sqrt{F_{21}^2 + F_{31}^2 + 2 F_{21} F_{31} \cos(60^\circ)} = \sqrt{F_{21}^2 + F_{21}^2 + 2 F_{21}^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F_{21}^2} = F_{21}\sqrt{3}$

$F_R = k \frac{q^2}{a^2}\sqrt{3}$

Вектор $\vec{F}_R$ направлен вдоль биссектрисы угла, то есть по линии, соединяющей вершину с центром треугольника, в сторону от центра.

Для того чтобы заряд $q_1$ находился в равновесии, сила $\vec{F}_{Q1}$ со стороны центрального заряда $Q$ должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе $\vec{F}_R$. Следовательно, сила $\vec{F}_{Q1}$ должна быть силой притяжения, а значит, заряд $Q$ должен быть положительным.

$\vec{F}_{Q1} = - \vec{F}_R \implies F_{Q1} = F_R$

Модуль силы $\vec{F}_{Q1}$ равен:

$F_{Q1} = k \frac{|Q| \cdot |q|}{r^2}$

где $r$ – расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины. Это расстояние равно $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим выражение для $r$:

$F_{Q1} = k \frac{|Q||q|}{(a/\sqrt{3})^2} = 3k \frac{|Q||q|}{a^2}$

Теперь приравняем модули сил $F_R$ и $F_{Q1}$:

$k \frac{q^2}{a^2}\sqrt{3} = 3k \frac{|Q||q|}{a^2}$

Сократим одинаковые множители ($k, a^2, |q|$):

$|q|\sqrt{3} = 3|Q|$

Отсюда выразим модуль заряда $Q$:

$|Q| = \frac{|q|\sqrt{3}}{3} = \frac{|q|}{\sqrt{3}}$

Подставим числовое значение $|q| = 10$ мкКл:

$|Q| = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \text{ мкКл}$

Так как заряд $Q$ должен быть положительным, то $Q \approx +5.77$ мкКл.

Проверим равновесие центрального заряда $Q$. Силы, действующие на него со стороны трех зарядов в вершинах, равны по модулю и направлены под углами $120^\circ$ друг к другу. Их векторная сумма равна нулю, так что центральный заряд также будет находиться в равновесии.

Ответ:

Чтобы вся система зарядов находилась в равновесии, в центре треугольника следует поместить положительный заряд $Q = \frac{|q|}{\sqrt{3}} \approx +5.77$ мкКл.