Номер 5, страница 376 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 80. Равновесие статических зарядов. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 5, страница 376.

Условие.

5. В вершинах квадрата находятся четыре одинаковых положительных точечных заряда $\text{q}$. Какой заряд следует поместить в центр квадрата, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Решение.

Дано

Заряды в вершинах квадрата: $q_1 = q_2 = q_3 = q_4 = q$ ($q > 0$)

Заряд в центре квадрата: $Q$

Условие равновесия системы.

Найти:

$Q$

Решение

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю.

В силу симметрии задачи, равнодействующая сил, действующих на центральный заряд $Q$ со стороны четырех зарядов $q$ в вершинах квадрата, равна нулю. Силы от диагонально противоположных зарядов попарно компенсируют друг друга. Таким образом, центральный заряд всегда находится в равновесии.

Рассмотрим равновесие одного из зарядов в вершине квадрата, например, заряда $q$ в правой верхней вершине. Пусть сторона квадрата равна $a$. На этот заряд действуют силы отталкивания от трех других зарядов в вершинах и сила со стороны центрального заряда $Q$.

1. Силы со стороны двух соседних зарядов $q$. Они находятся на расстоянии $a$. Модули этих сил равны $F_1 = k \frac{q^2}{a^2}$ и направлены вдоль сторон квадрата (силы перпендикулярны друг другу).

2. Сила со стороны диагонально противоположного заряда $q$. Он находится на расстоянии диагонали $d = a\sqrt{2}$. Модуль этой силы равен $F_2 = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$. Эта сила направлена вдоль диагонали от центра.

Суммарная сила $\vec{F}_{отт}$, действующая на выбранный заряд со стороны трех других зарядов в вершинах, направлена по диагонали от центра квадрата. Ее модуль равен сумме модуля силы $F_2$ и модуля равнодействующей сил $F_1$, так как все эти векторы коллинеарны. Равнодействующая двух перпендикулярных сил $F_1$ имеет модуль $F_{1,1} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2} = F_1\sqrt{2} = k \frac{q^2\sqrt{2}}{a^2}$.

Таким образом, модуль суммарной силы отталкивания равен:

$F_{отт} = F_2 + F_{1,1} = k \frac{q^2}{2a^2} + k \frac{q^2\sqrt{2}}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2} \left(\frac{1}{2} + \sqrt{2}\right)$.

Чтобы заряд в вершине находился в равновесии, эта сила отталкивания должна быть скомпенсирована силой со стороны центрального заряда $Q$. Следовательно, сила со стороны $Q$ должна быть силой притяжения, а значит, заряд $Q$ должен быть отрицательным ($Q < 0$).

Сила притяжения $F_Q$ создается зарядом $Q$, который находится на расстоянии $r$ от вершины, равном половине диагонали: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Модуль этой силы равен:

$F_Q = k \frac{|Q|q}{r^2} = k \frac{|Q|q}{(a\sqrt{2}/2)^2} = k \frac{|Q|q}{a^2/2} = 2k \frac{|Q|q}{a^2}$.

Условие равновесия для заряда в вершине: $F_{отт} = F_Q$.

$k \frac{q^2}{a^2} \left(\frac{1}{2} + \sqrt{2}\right) = 2k \frac{|Q|q}{a^2}$.

Сократим общие множители ($k$, $q$, $a^2$):

$q \left(\frac{1}{2} + \sqrt{2}\right) = 2|Q|$.

$|Q| = q \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Учитывая, что знак заряда $Q$ отрицательный, получаем:

$Q = -q \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -q \frac{1+2\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Заряд, который следует поместить в центр квадрата, равен $Q = -q(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2})$.