Номер 1, страница 376 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 80. Равновесие статических зарядов. Задачи - номер 1, страница 376.

Условие.

1. Заряженные шарики, находящиеся на расстоянии $l = 0,5 \text{ м}$ друг от друга, отталкиваются с силой $F = 0,576 \text{ Н}$. Суммарный заряд шариков $Q = 10 \text{ мкКл}$. Найдите заряд каждого шарика.

Решение.

Дано:

$l = 0,5$ м

$F = 0,576$ Н

$Q = 10$ мкКл

Постоянная Кулона $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

$Q = 10 \text{ мкКл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$q_1, q_2$ - ?

Решение:

Обозначим заряды шариков как $q_1$ и $q_2$. По условию задачи, суммарный заряд шариков равен $Q$, а сила их электростатического взаимодействия (отталкивания) равна $F$. Это можно записать в виде системы уравнений.

Первое уравнение - сумма зарядов:

$q_1 + q_2 = Q$

Второе уравнение - закон Кулона. Так как шарики отталкиваются, их заряды одноименные, и произведение $q_1 \cdot q_2$ будет положительным.

$F = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{l^2} = k \frac{q_1 \cdot q_2}{l^2}$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = Q \\ F = k \frac{q_1 \cdot q_2}{l^2} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим произведение зарядов $q_1 \cdot q_2$:

$q_1 \cdot q_2 = \frac{F \cdot l^2}{k}$

Подставим числовые значения:

$q_1 \cdot q_2 = \frac{0,576 \text{ Н} \cdot (0,5 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \text{ Н·м²/Кл²}} = \frac{0,576 \cdot 0,25}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл²} = \frac{0,144}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл²} = 0,016 \cdot 10^{-9} \text{ Кл²} = 16 \cdot 10^{-12} \text{ Кл²}$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \\ q_1 \cdot q_2 = 16 \cdot 10^{-12} \text{ Кл²} \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (q_1+q_2)x + (q_1 \cdot q_2) = 0$.

Подставим наши значения:

$x^2 - (10 \cdot 10^{-6})x + 16 \cdot 10^{-12} = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-10 \cdot 10^{-6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 \cdot 10^{-12}) = 100 \cdot 10^{-12} - 64 \cdot 10^{-12} = 36 \cdot 10^{-12}$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \cdot 10^{-6} \pm \sqrt{36 \cdot 10^{-12}}}{2} = \frac{10 \cdot 10^{-6} \pm 6 \cdot 10^{-6}}{2}$

Первый корень:

$q_1 = \frac{10 \cdot 10^{-6} + 6 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{16 \cdot 10^{-6}}{2} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 8 \text{ мкКл}$

Второй корень:

$q_2 = \frac{10 \cdot 10^{-6} - 6 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{2} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 2 \text{ мкКл}$

Таким образом, заряды шариков равны 8 мкКл и 2 мкКл.

Ответ: заряды шариков равны 2 мкКл и 8 мкКл.