Номер 3, страница 376 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 80. Равновесие статических зарядов. Вопросы - номер 3, страница 376.

Условие.

3. Почему равновесие третьего заряда не зависит от его значения?

Решение.

2. Почему равновесие третьего заряда не зависит от его знака?

Условие равновесия для любого тела, в том числе для электрического заряда, заключается в том, что векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. Рассмотрим систему из трех зарядов: $q_1$, $q_2$ и $q_3$. На третий заряд $q_3$ действуют две силы со стороны первых двух зарядов: сила $\vec{F}_{13}$ со стороны заряда $q_1$ и сила $\vec{F}_{23}$ со стороны заряда $q_2$.

Условие равновесия для заряда $q_3$ имеет вид:

$\vec{F}_{net} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = 0$

Согласно закону Кулона, сила, действующая на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_1$, выражается формулой:

$\vec{F}_{13} = k \frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} \hat{r}_{13}$

где $k$ – постоянная Кулона, $r_{13}$ – расстояние между зарядами $q_1$ и $q_3$, а $\hat{r}_{13}$ – единичный вектор, направленный от $q_1$ к $q_3$. Аналогично для силы со стороны заряда $q_2$:

$\vec{F}_{23} = k \frac{q_2 q_3}{r_{23}^2} \hat{r}_{23}$

Подставим эти выражения в условие равновесия:

$k \frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} \hat{r}_{13} + k \frac{q_2 q_3}{r_{23}^2} \hat{r}_{23} = 0$

Здесь можно вынести заряд $q_3$ за скобки:

$q_3 \left( k \frac{q_1}{r_{13}^2} \hat{r}_{13} + k \frac{q_2}{r_{23}^2} \hat{r}_{23} \right) = 0$

Знак заряда $q_3$ влияет на направление каждой из сил. Если мы поменяем знак $q_3$ на противоположный (например, с «+» на «–»), то направления обеих сил, $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$, изменятся на противоположные. То есть новая сила $\vec{F'}_{13}$ будет равна $-\vec{F}_{13}$, а новая сила $\vec{F'}_{23}$ будет равна $-\vec{F}_{23}$.

Новая результирующая сила будет равна:

$\vec{F'}_{net} = \vec{F'}_{13} + \vec{F'}_{23} = (-\vec{F}_{13}) + (-\vec{F}_{23}) = -(\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23})$

Если в данной точке для заряда $q_3$ выполнялось условие равновесия, то есть $\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = 0$, то и после смены знака заряда результирующая сила останется равной нулю: $\vec{F'}_{net} = -(0) = 0$. Таким образом, положение равновесия не зависит от знака третьего заряда.

Ответ: Равновесие третьего заряда не зависит от его знака, потому что изменение знака заряда $q_3$ одновременно изменяет направление обеих кулоновских сил ($\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$), действующих на него, на противоположное. Если их векторная сумма была равна нулю, она останется равной нулю.

3. Почему равновесие третьего заряда не зависит от его значения?

Рассмотрим условие равновесия третьего заряда $q_3$ с точки зрения равенства модулей сил. Для того чтобы результирующая сила была равна нулю, необходимо, чтобы силы $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ были равны по модулю и противоположны по направлению. Условие равенства модулей записывается как:

$F_{13} = F_{23}$

Модуль силы Кулона, действующей между двумя зарядами $q_a$ и $q_b$, определяется по формуле:

$F_{ab} = k \frac{|q_a q_b|}{r_{ab}^2}$

Применим эту формулу к силам, действующим на заряд $q_3$:

$F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2}$

$F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2}$

Подставим эти выражения в условие равенства модулей сил:

$k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2}$

Это равенство можно упростить. Сначала сократим постоянную Кулона $k$. Затем, поскольку $|q_a q_b| = |q_a| |q_b|$, перепишем уравнение:

$\frac{|q_1| |q_3|}{r_{13}^2} = \frac{|q_2| |q_3|}{r_{23}^2}$

Если заряд $q_3$ не равен нулю (иначе сила на него всегда равна нулю в любой точке), мы можем разделить обе части уравнения на его модуль $|q_3|$:

$\frac{|q_1|}{r_{13}^2} = \frac{|q_2|}{r_{23}^2}$

Полученное уравнение связывает величины зарядов $q_1$ и $q_2$ с расстояниями до точки равновесия ($r_{13}$ и $r_{23}$). Как видно, значение (величина) заряда $q_3$ в это уравнение не входит, так как оно сократилось. Это означает, что положение точки, в которой третий заряд будет находиться в равновесии, зависит только от величин и расположения первых двух зарядов, но не от величины самого третьего заряда.

Ответ: Равновесие третьего заряда не зависит от его значения, потому что величина заряда $q_3$ входит как множитель в выражения для модулей обеих сил, действующих на него. При приравнивании модулей сил для нахождения точки равновесия, эта величина сокращается и, следовательно, не влияет на итоговое положение.