Номер 2, страница 376 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 14. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 80. Равновесие статических зарядов. Задачи - номер 2, страница 376.

Условие.

2. Точечные заряды $\text{q}$ и $2q$ находятся на расстоянии $\text{l}$ друг от друга. В какой точке следует поместить третий заряд, чтобы система находилась в равновесии? Определите значение и знак этого заряда.

Решение.

Дано:

$q_1 = q$

$q_2 = 2q$

$l$ - расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Найти:

$x$ - положение третьего заряда $q_3$.

$q_3$ - значение и знак третьего заряда.

Решение:

Чтобы система из трех зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на каждый из трех зарядов, была равна нулю.

Расположим заряды на оси $Ox$. Пусть заряд $q_1 = q$ находится в точке $x_1 = 0$, а заряд $q_2 = 2q$ — в точке $x_2 = l$. Будем считать, что $q > 0$.

1. Нахождение положения третьего заряда $q_3$.

Третий заряд $q_3$ должен быть расположен на прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$. Если поместить его вне отрезка $[0, l]$, то силы, действующие на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$ (которые имеют одинаковый знак), будут направлены в одну сторону, и равновесие $q_3$ будет невозможно. Следовательно, заряд $q_3$ должен находиться между зарядами $q_1$ и $q_2$. Обозначим его координату как $x$, где $0 < x < l$.

Для равновесия заряда $q_3$ необходимо, чтобы силы, действующие на него со стороны $q_1$ и $q_2$, были равны по модулю и противоположны по направлению. Это условие уже выполняется, так как $q_3$ находится между ними.

Запишем равенство модулей сил Кулона:

$F_{13} = F_{23}$

$k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{(l-x)^2}$

Подставим значения зарядов $q_1=q$ и $q_2=2q$:

$k \frac{|q q_3|}{x^2} = k \frac{|2q q_3|}{(l-x)^2}$

Сократив на $k|q q_3|$, получим:

$\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(l-x)^2}$

$(l-x)^2 = 2x^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$l-x = \pm \sqrt{2}x$

Поскольку $x$ и $l-x$ - это расстояния, они должны быть положительными, поэтому выбираем знак «+»:

$l-x = \sqrt{2}x$

$l = x + \sqrt{2}x = x(1+\sqrt{2})$

$x = \frac{l}{1+\sqrt{2}} = \frac{l(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = l(\sqrt{2}-1)$

Итак, третий заряд нужно поместить на расстоянии $x = l(\sqrt{2}-1)$ от заряда $q$.

2. Определение знака и значения заряда $q_3$.

Теперь рассмотрим условие равновесия для одного из исходных зарядов, например, для заряда $q_1=q$. На него действуют сила отталкивания $F_{21}$ со стороны заряда $q_2$ и сила $F_{31}$ со стороны заряда $q_3$. Чтобы заряд $q_1$ был в равновесии, эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Сила $F_{21}$ является силой отталкивания (так как $q_1$ и $q_2$ одноименные) и направлена от заряда $q_2$. Следовательно, сила $F_{31}$ должна быть силой притяжения и направлена к заряду $q_3$. Это возможно только если заряды $q_1$ и $q_3$ разноименные. Таким образом, заряд $q_3$ должен быть отрицательным.

Запишем условие равенства модулей сил, действующих на заряд $q_1$:

$F_{21} = F_{31}$

$k \frac{|q_1 q_2|}{l^2} = k \frac{|q_1 q_3|}{x^2}$

$k \frac{|q \cdot 2q|}{l^2} = k \frac{|q q_3|}{x^2}$

$\frac{2q^2}{l^2} = \frac{q|q_3|}{x^2}$

Выразим $|q_3|$:

$|q_3| = \frac{2q x^2}{l^2}$

Подставим найденное ранее значение $x = l(\sqrt{2}-1)$:

$|q_3| = \frac{2q (l(\sqrt{2}-1))^2}{l^2} = \frac{2q l^2 (\sqrt{2}-1)^2}{l^2} = 2q(\sqrt{2}-1)^2$

$|q_3| = 2q(2 - 2\sqrt{2} + 1) = 2q(3 - 2\sqrt{2}) = q(6 - 4\sqrt{2})$

Так как заряд $q_3$ отрицательный, его значение:

$q_3 = -q(6 - 4\sqrt{2})$

Ответ: Третий заряд следует поместить на прямой, соединяющей заряды $q$ и $2q$, между ними, на расстоянии $l(\sqrt{2}-1)$ от заряда $q$. Значение третьего заряда $q_3 = -q(6 - 4\sqrt{2})$.