Номер 4, страница 420 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 92. Соединения конденсаторов. Задачи - номер 4, страница 420.

Условие.

4. Найдите разность потенциалов $U_{ed}$, если $U_{ab} = 12$ В (см. рис. 335).

Решение.

Дано:

$C_1 = 4$ пФ

$C_2 = 12$ пФ

$C_3 = 12$ пФ

$C_4 = 6$ пФ

$U_{ab} = 12$ В

Перевод в систему СИ:

$C_1 = 4 \times 10^{-12}$ Ф

$C_2 = 12 \times 10^{-12}$ Ф

$C_3 = 12 \times 10^{-12}$ Ф

$C_4 = 6 \times 10^{-12}$ Ф

$U_{ab} = 12$ В

Найти:

$U_{ed}$

Решение:

Схема состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к точкам a и b. Напряжение на каждой ветви равно $U_{ab}$.

Верхняя ветвь содержит два последовательно соединенных конденсатора: $C_1 = 4$ пФ (между точками a и e) и $C_2 = 12$ пФ (между точками e и b).

Нижняя ветвь содержит два последовательно соединенных конденсатора: $C_3 = 12$ пФ (между точками a и d) и $C_4 = 6$ пФ (между точками d и b).

Разность потенциалов $U_{ed}$ определяется как $U_{ed} = \phi_e - \phi_d$, где $\phi_e$ и $\phi_d$ — потенциалы в точках e и d соответственно.

Для нахождения этих потенциалов выберем потенциал одной из точек в качестве опорного. Пусть потенциал точки b равен нулю: $\phi_b = 0$. Тогда из условия $U_{ab} = \phi_a - \phi_b = 12$ В следует, что потенциал точки a равен $\phi_a = 12$ В.

Рассмотрим верхнюю ветвь (a-e-b). Эквивалентная емкость последовательно соединенных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ равна:

$C_{12} = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \cdot 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3$ пФ $= 3 \times 10^{-12}$ Ф.

Заряд на этой ветви равен:

$q_{12} = C_{12} \cdot U_{ab} = 3 \times 10^{-12} \text{ Ф} \cdot 12 \text{ В} = 36 \times 10^{-12}$ Кл.

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен общему заряду: $q_1 = q_2 = q_{12}$.

Падение напряжения на конденсаторе $C_1$ (между точками a и e) равно:

$U_{ae} = \frac{q_1}{C_1} = \frac{36 \times 10^{-12} \text{ Кл}}{4 \times 10^{-12} \text{ Ф}} = 9$ В.

Потенциал в точке e можно найти как $\phi_e = \phi_a - U_{ae}$ (поскольку $\phi_a > \phi_b$, положительная обкладка конденсатора $C_1$ находится у точки a).

$\phi_e = 12 \text{ В} - 9 \text{ В} = 3$ В.

Теперь рассмотрим нижнюю ветвь (a-d-b). Эквивалентная емкость последовательно соединенных конденсаторов $C_3$ и $C_4$ равна:

$C_{34} = \frac{C_3 \cdot C_4}{C_3 + C_4} = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4$ пФ $= 4 \times 10^{-12}$ Ф.

Заряд на этой ветви равен:

$q_{34} = C_{34} \cdot U_{ab} = 4 \times 10^{-12} \text{ Ф} \cdot 12 \text{ В} = 48 \times 10^{-12}$ Кл.

При последовательном соединении $q_3 = q_4 = q_{34}$.

Падение напряжения на конденсаторе $C_3$ (между точками a и d) равно:

$U_{ad} = \frac{q_3}{C_3} = \frac{48 \times 10^{-12} \text{ Кл}}{12 \times 10^{-12} \text{ Ф}} = 4$ В.

Потенциал в точке d можно найти как $\phi_d = \phi_a - U_{ad}$ (положительная обкладка $C_3$ у точки a).

$\phi_d = 12 \text{ В} - 4 \text{ В} = 8$ В.

Наконец, находим искомую разность потенциалов $U_{ed}$:

$U_{ed} = \phi_e - \phi_d = 3 \text{ В} - 8 \text{ В} = -5$ В.

Ответ: $U_{ed} = -5$ В.