Номер 5, страница 420 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 92. Соединения конденсаторов. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 5, страница 420.

Условие.

5. При каком соотношении электроёмкостей $C_1, C_2, C_3, C_4$ разность потенциалов $U_{ab} = 0$ (рис. 337)?

Решение.

Дано:

Схема электрической цепи, состоящая из четырех конденсаторов $C_1, C_2, C_3, C_4$, соединенных по мостовой схеме.

Разность потенциалов между точками a и b равна нулю: $U_{ab} = 0$.

Найти:

Соотношение между электроёмкостями $C_1, C_2, C_3, C_4$.

Решение:

Представленная схема является емкостным мостом (мостом Вина). Разность потенциалов между точками a и b определяется как $U_{ab} = \phi_a - \phi_b$, где $\phi_a$ и $\phi_b$ — потенциалы в точках a и b соответственно.

Условие $U_{ab} = 0$ означает, что потенциалы в точках a и b равны:

$\phi_a = \phi_b$

Это условие равновесия моста. Если потенциалы точек a и b равны, то напряжение на участке ea равно напряжению на участке eb, а напряжение на участке ad равно напряжению на участке bd.

Рассмотрим два параллельных участка цепи, подключенных к источнику напряжения между точками e и d.

1. Участок ead состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_1$ и $C_2$. Так как они соединены последовательно, заряды на них одинаковы:

$q_1 = q_2$

Используя формулу заряда конденсатора $q = C \cdot U$, получаем:

$C_1 \cdot U_{ea} = C_2 \cdot U_{ad}$

Отсюда следует соотношение напряжений:

$\frac{U_{ea}}{U_{ad}} = \frac{C_2}{C_1}$ (1)

2. Участок ebd состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_4$ и $C_3$. Заряды на них также одинаковы:

$q_4 = q_3$

$C_4 \cdot U_{eb} = C_3 \cdot U_{bd}$

Отсюда получаем соотношение напряжений:

$\frac{U_{eb}}{U_{bd}} = \frac{C_3}{C_4}$ (2)

Из условия равновесия моста ($\phi_a = \phi_b$) следует, что:

$U_{ea} = \phi_e - \phi_a = \phi_e - \phi_b = U_{eb}$

$U_{ad} = \phi_a - \phi_d = \phi_b - \phi_d = U_{bd}$

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем искомое соотношение:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{C_3}{C_4}$

Преобразуем это выражение, используя перекрестное умножение:

$C_1 \cdot C_3 = C_2 \cdot C_4$

Таким образом, разность потенциалов $U_{ab}$ равна нулю, если произведение ёмкостей в противоположных плечах моста равны.

Ответ: Разность потенциалов $U_{ab}$ равна нулю при выполнении условия $C_1 C_3 = C_2 C_4$ или $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_4}{C_3}$.