Номер 3, страница 420 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 92. Соединения конденсаторов. Задачи - номер 3, страница 420.

Условие.

3. Найдите электроёмкость $C_{ab}$ (рис. 336).

Решение.

Дано:

Схема электрической цепи, состоящая из девяти одинаковых конденсаторов, показана на рисунке 336. Электроёмкость каждого конденсатора равна $C$.

Найти:

Электроёмкость цепи между точками a и b, $C_{ab}$.

Решение:

Для нахождения эквивалентной ёмкости цепи воспользуемся её симметрией. Обозначим узлы схемы, не являющиеся точками a и b. Пусть узел 1 - верхний левый, узел 2 - нижний левый, узел 3 - верхний правый, и узел 4 - нижний правый.

Схема симметрична относительно горизонтальной оси, проходящей через точки a и b. Если подать напряжение между точками a и b, то из-за симметрии потенциалы узлов, симметрично расположенных относительно этой оси, будут равны. То есть, потенциал узла 1 будет равен потенциалу узла 2 ($V_1 = V_2$), а потенциал узла 3 будет равен потенциалу узла 4 ($V_3 = V_4$).

Поскольку узлы 1 и 2 имеют одинаковый потенциал, их можно мысленно соединить в один узел, который назовем L. Аналогично, можно соединить узлы 3 и 4, имеющие равные потенциалы, в один узел R. Это позволяет значительно упростить исходную схему.

Рассмотрим, как при этом преобразуются соединения конденсаторов:

1. Два конденсатора, подключенные между узлом a и узлами 1 и 2, окажутся соединенными параллельно между узлом a и объединенным узлом L. Их общая ёмкость составит $C_{aL} = C + C = 2C$.

2. Два конденсатора, подключенные между узлами 3, 4 и узлом b, окажутся соединенными параллельно между объединенным узлом R и узлом b. Их общая ёмкость составит $C_{Rb} = C + C = 2C$.

3. Четыре конденсатора, которые соединяли левые и правые узлы (горизонтальные между 1 и 3, 2 и 4, а также диагональные между 1 и 4, 2 и 3), теперь окажутся соединенными параллельно между объединенными узлами L и R. Их общая ёмкость будет $C_{LR} = C + C + C + C = 4C$.

4. Центральный конденсатор, соединяющий непосредственно точки a и b, остается без изменений.

Таким образом, исходная сложная схема эквивалентна более простой: конденсатор ёмкостью $C$ соединен параллельно с последовательной цепью из трех эквивалентных конденсаторов ёмкостями $C_{aL} = 2C$, $C_{LR} = 4C$ и $C_{Rb} = 2C$.

Сначала найдем ёмкость последовательной цепи, которую обозначим $C_{series}$:

$\frac{1}{C_{series}} = \frac{1}{C_{aL}} + \frac{1}{C_{LR}} + \frac{1}{C_{Rb}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{4C} + \frac{1}{2C}$

Приводя дроби к общему знаменателю $4C$:

$\frac{1}{C_{series}} = \frac{2}{4C} + \frac{1}{4C} + \frac{2}{4C} = \frac{5}{4C}$

Отсюда находим ёмкость последовательного участка:

$C_{series} = \frac{4C}{5}$

Общая электроёмкость $C_{ab}$ всей цепи равна сумме ёмкостей параллельно соединенных участков — центрального конденсатора и последовательной цепи:

$C_{ab} = C + C_{series} = C + \frac{4C}{5}$

Складывая ёмкости, получаем:

$C_{ab} = \frac{5C}{5} + \frac{4C}{5} = \frac{9C}{5}$

Ответ: $C_{ab} = \frac{9}{5}C$.