Номер 2, страница 420 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 92. Соединения конденсаторов. Вопросы - номер 2, страница 420.

Условие.

2. Как находится эквивалентная электроёмкость при последовательном соединении конденсаторов?

Решение.

Решение

При последовательном соединении конденсаторы включаются в цепь друг за другом таким образом, что обкладка одного конденсатора соединяется с разноименной обкладкой следующего. Вся батарея конденсаторов подключается к источнику напряжения.

Для нахождения эквивалентной электроёмкости используются два основных закона, справедливых для последовательного соединения:

1. Заряд на каждом из последовательно соединенных конденсаторов одинаков и равен общему заряду батареи. Это следует из закона сохранения заряда: заряд, ушедший с одной обкладки, оказывается на соседней, и так далее по цепи.

$q_{общ} = q_1 = q_2 = \dots = q_n$

2. Общее напряжение на концах цепи равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов.

$U_{общ} = U_1 + U_2 + \dots + U_n$

Основная формула, связывающая ёмкость $C$, заряд $q$ и напряжение $U$, имеет вид $C = q/U$. Отсюда можно выразить напряжение на каждом конденсаторе: $U = q/C$.

Подставим выражение для напряжения в формулу для общего напряжения:

$U_{общ} = \frac{q_1}{C_1} + \frac{q_2}{C_2} + \dots + \frac{q_n}{C_n}$

Эквивалентная электроёмкость $C_{экв}$ — это ёмкость такого одиночного конденсатора, который, будучи подключенным к тому же источнику напряжения $U_{общ}$, накопит тот же заряд $q_{общ}$. Для него справедливо соотношение:

$U_{общ} = \frac{q_{общ}}{C_{экв}}$

Приравняем правые части двух выражений для $U_{общ}$:

$\frac{q_{общ}}{C_{экв}} = \frac{q_1}{C_1} + \frac{q_2}{C_2} + \dots + \frac{q_n}{C_n}$

Поскольку все заряды равны ($q_{общ} = q_1 = q_2 = \dots$), мы можем сократить обе части уравнения на $q$. В результате получаем формулу для расчёта эквивалентной ёмкости при последовательном соединении:

$\frac{1}{C_{экв}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$

Из этой формулы следует, что величина, обратная эквивалентной ёмкости, равна сумме величин, обратных ёмкостям отдельных конденсаторов. Также важно отметить, что общая ёмкость при последовательном соединении всегда меньше ёмкости любого из конденсаторов в цепи.

Для частного случая двух последовательно соединенных конденсаторов формула принимает вид:

$C_{экв} = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2}$

Ответ: При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная эквивалентной электроёмкости $C_{экв}$, равна сумме величин, обратных электроёмкостям каждого из конденсаторов ($C_1, C_2, \dots, C_n$). Расчёт производится по формуле: $\frac{1}{C_{экв}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_i} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$.