Номер 4, страница 416 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 91. Электроёмкость конденсатора. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 4, страница 416.

Условие.

4. Плоский воздушный конденсатор, электроёмкость которого $C = 12 \text{ пФ}$, имеет площадь пластин $S = 1 \text{ см}^2$. При какой разности потенциалов произойдёт пробой воздуха между обкладками, если он возникает при напряжённости поля $E = 3 \text{ МВ/м}$?

Решение.

Дано:

$C = 12 \text{ пФ}$

$S = 1 \text{ см}^2$

$E = 3 \text{ МВ/м}$

$\varepsilon \approx 1$ (для воздуха)

$\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$C = 12 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$S = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$

$E = 3 \cdot 10^6 \text{ В/м}$

Найти:

$U$

Решение:

Электроёмкость плоского воздушного конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха $\varepsilon \approx 1$), $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между пластинами.

Связь между напряжённостью $E$ однородного электрического поля внутри конденсатора и разностью потенциалов (напряжением) $U$ между его обкладками выражается формулой:

$U = E \cdot d$

Пробой воздуха произойдёт, когда напряжённость поля достигнет критического значения $E$. Чтобы найти соответствующую этому моменту разность потенциалов $U$, необходимо знать расстояние $d$ между пластинами. Выразим $d$ из формулы электроёмкости:

$d = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{C}$

Теперь подставим это выражение для $d$ в формулу для напряжения:

$U = E \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{C}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисления:

$U = 3 \cdot 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot \frac{1 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{12 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}$

Сократим $10^{-12}$ в числителе и знаменателе, а также выполним действия со степенями $10$:

$U = \frac{3 \cdot 8.85 \cdot 10^{6-4}}{12} \text{ В} = \frac{3 \cdot 8.85 \cdot 10^2}{12} \text{ В}$

Сократим множитель 3 в числителе и 12 в знаменателе:

$U = \frac{8.85 \cdot 100}{4} \text{ В} = \frac{885}{4} \text{ В} = 221.25 \text{ В}$

Ответ: пробой воздуха между обкладками произойдёт при разности потенциалов $221.25 \text{ В}$.