Номер 3, страница 416 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 91. Электроёмкость конденсатора. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 3, страница 416.

Условие.

3. Какую площадь должны иметь пластины плоского воздушного конденсатора, для того чтобы его электроёмкость была равна 1 пФ? Расстояние между пластинами $d = 0,5$ мм. Как изменится результат, если пространство между пластинами заполнить слюдой $(\varepsilon = 7)$?

Решение.

Дано:

Электроёмкость, $C = 1 \text{ пФ}$
Расстояние между пластинами, $d = 0,5 \text{ мм}$
Диэлектрическая проницаемость воздуха, $\epsilon_1 \approx 1$
Диэлектрическая проницаемость слюды, $\epsilon_2 = 7$
Электрическая постоянная, $\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Перевод в систему СИ:
$C = 1 \text{ пФ} = 1 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$
$d = 0,5 \text{ мм} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Площадь пластин воздушного конденсатора, $S_1$
Площадь пластин конденсатора со слюдой, $S_2$

Решение:

Задача состоит из двух частей: сначала находим площадь для воздушного конденсатора, а затем определяем, как изменится эта площадь, если использовать диэлектрик - слюду.

1. Расчет площади пластин воздушного конденсатора

Электроёмкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $C$ - электроёмкость, $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между ними.

Для воздушного конденсатора диэлектрическая проницаемость $\epsilon_1 \approx 1$. Выразим из формулы площадь пластин $S_1$:

$S_1 = \frac{C \cdot d}{\epsilon_1 \cdot \epsilon_0}$

Подставим значения в СИ:

$S_1 = \frac{1 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{1 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}} = \frac{0,5 \cdot 10^{-3}}{8,85} \text{ м}^2 \approx 0,0565 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 = 5,65 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Для удобства восприятия переведем результат в квадратные сантиметры ($1 \text{ м}^2 = 10^4 \text{ см}^2$):

$S_1 = 5,65 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2 \cdot 10^4 \frac{\text{см}^2}{\text{м}^2} = 0,565 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь пластин воздушного конденсатора должна быть примерно $0,565 \text{ см}^2$.

2. Расчет площади пластин конденсатора со слюдой

Теперь пространство между пластинами заполнено слюдой с диэлектрической проницаемостью $\epsilon_2 = 7$. Мы хотим получить ту же ёмкость $C = 1 \text{ пФ}$. Найдем новую требуемую площадь $S_2$.

$S_2 = \frac{C \cdot d}{\epsilon_2 \cdot \epsilon_0}$

Мы можем заметить, что новая площадь $S_2$ связана со старой площадью $S_1$ следующим образом:

$S_2 = \frac{1}{\epsilon_2} \cdot \left(\frac{C \cdot d}{\epsilon_0}\right) = \frac{S_1}{\epsilon_2}$

Это означает, что для сохранения той же ёмкости при использовании диэлектрика с проницаемостью $\epsilon_2$, площадь пластин можно уменьшить в $\epsilon_2$ раз.

Рассчитаем новую площадь:

$S_2 = \frac{S_1}{7} = \frac{0,565 \text{ см}^2}{7} \approx 0,0807 \text{ см}^2$

Ответ: При заполнении пространства слюдой результат изменится: для сохранения ёмкости в 1 пФ площадь пластин необходимо уменьшить в 7 раз, и она составит примерно $0,081 \text{ см}^2$.