Номер 2, страница 416 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 91. Электроёмкость конденсатора. Задачи - номер 2, страница 416.

Условие.

2. Постройте график изменения потенциала вдоль оси $\text{X}$, перпендикулярной пластинам плоского конденсатора. Поверхностная плотность заряда на пластинах $\pm\sigma$, расстояние между ними $\text{d}$. Конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. За нуль примите потенциал отрицательно заряженной пластины.

Решение.

Дано:

Поверхностная плотность заряда на пластинах: $±\sigma$

Расстояние между пластинами: $d$

Относительная диэлектрическая проницаемость: $\epsilon$

Потенциал отрицательно заряженной пластины принят за нуль.

Найти:

Построить график зависимости потенциала $\phi$ от координаты $x$, $\phi(x)$.

Решение:

1. Выберем систему координат. Пусть ось $X$ перпендикулярна пластинам конденсатора. Поместим начало координат ($x=0$) на отрицательно заряженную пластину, тогда положительно заряженная пластина будет находиться в точке $x=d$. Ось $X$ направлена от отрицательной пластины к положительной.

2. Напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, является однородной и определяется по формуле:

$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная. Вектор напряженности $\vec{E}$ направлен от положительной пластины ($x=d$) к отрицательной ($x=0$), то есть в сторону, противоположную направлению оси $X$. Поэтому проекция вектора напряженности на ось $X$ отрицательна:

$E_x = -E = -\frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon}$

3. Связь между потенциалом $\phi$ и напряженностью электрического поля $E_x$ задается соотношением:

$E_x = -\frac{d\phi}{dx}$

Отсюда можно выразить производную потенциала по координате:

$\frac{d\phi}{dx} = -E_x = -(-\frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon}) = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon}$

4. Для нахождения зависимости $\phi(x)$ проинтегрируем полученное выражение по $x$:

$\phi(x) = \int \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon} dx = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon} x + C$

где $C$ — постоянная интегрирования.

5. Используем граничное условие, данное в задаче: потенциал отрицательно заряженной пластины ($x=0$) равен нулю, то есть $\phi(0) = 0$. Подставим это в наше уравнение:

$\phi(0) = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon} \cdot 0 + C = 0$

Из этого следует, что $C=0$.

Таким образом, для области между пластинами ($0 \le x \le d$) зависимость потенциала от координаты имеет вид:

$\phi(x) = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon} x$

6. Рассмотрим области вне конденсатора. В идеальном плоском конденсаторе электрическое поле вне пластин равно нулю.

Для $x < 0$ (слева от отрицательной пластины): $E=0$. Это означает, что потенциал постоянен. Поскольку на границе при $x=0$ потенциал равен $\phi(0) = 0$, то и для всей области $x \le 0$ потенциал $\phi(x) = 0$.

Для $x > d$ (справа от положительной пластины): $E=0$. Потенциал также постоянен и равен потенциалу на границе при $x=d$. Найдем этот потенциал:

$\phi(d) = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon} d$

Следовательно, для всей области $x \ge d$ потенциал $\phi(x) = \frac{\sigma d}{\epsilon_0 \epsilon}$.

Ответ:

Зависимость потенциала $\phi$ от координаты $x$ описывается следующими уравнениями:

$\phi(x) = 0$ при $x \le 0$

$\phi(x) = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon} x$ при $0 \le x \le d$

$\phi(x) = \frac{\sigma d}{\epsilon_0 \epsilon}$ при $x \ge d$

График этой зависимости представляет собой ломаную линию:

1. Горизонтальный луч, совпадающий с осью $X$ для $x \le 0$.

2. Наклонный отрезок прямой, соединяющий точку $(0, 0)$ и точку $(d, \frac{\sigma d}{\epsilon_0 \epsilon})$ для $0 \le x \le d$.

3. Горизонтальный луч, идущий из точки $(d, \frac{\sigma d}{\epsilon_0 \epsilon})$ вправо параллельно оси $X$ для $x \ge d$.

Схематическое изображение графика: