Номер 5, страница 416 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 91. Электроёмкость конденсатора. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 5, страница 416.

Условие.

5. Между пластинами плоского конденсатора площадью $S = 1,25 \text{ см}^2$ находится два слоя диэлектрика: слюдяная пластинка ($\epsilon_1 = 7$) толщиной $d_1 = 0,7 \text{ мм}$ и парафин ($\epsilon_2 = 2$) толщиной $d_2 = 0,4 \text{ мм}$. Найдите электроёмкость такого слоистого конденсатора.

Решение.

Дано:

$S = 1,25 \text{ см}^2 = 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$\epsilon_1 = 7$

$d_1 = 0,7 \text{ мм} = 0,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\epsilon_2 = 2$

$d_2 = 0,4 \text{ мм} = 0,4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$C$ - ?

Решение:

Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектрика можно представить как два последовательно соединенных конденсатора. Первый конденсатор $C_1$ с диэлектриком из слюдяной пластинки, второй $C_2$ - с диэлектриком из парафина.

Электроёмкость плоского конденсатора с однородным диэлектриком вычисляется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь пластин, $d$ – толщина слоя диэлектрика.

Рассчитаем ёмкости для каждого слоя:

Ёмкость конденсатора со слюдой: $C_1 = \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d_1}$

Ёмкость конденсатора с парафином: $C_2 = \frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d_2}$

При последовательном соединении конденсаторов общая ёмкость $C$ находится из соотношения:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в эту формулу:

$\frac{1}{C} = \frac{d_1}{\epsilon_1 \epsilon_0 S} + \frac{d_2}{\epsilon_2 \epsilon_0 S}$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{\epsilon_0 S}$:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{\epsilon_0 S} \left( \frac{d_1}{\epsilon_1} + \frac{d_2}{\epsilon_2} \right)$

Отсюда выразим искомую ёмкость $C$:

$C = \frac{\epsilon_0 S}{\frac{d_1}{\epsilon_1} + \frac{d_2}{\epsilon_2}}$

Подставим числовые значения в СИ и произведем вычисления:

$C = \frac{8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{\frac{0,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{7} + \frac{0,4 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{2}} = \frac{11,0625 \cdot 10^{-16} \text{ Ф}\cdot\text{м}}{0,1 \cdot 10^{-3} \text{ м} + 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}}$

$C = \frac{11,0625 \cdot 10^{-16} \text{ Ф}\cdot\text{м}}{0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 36,875 \cdot 10^{-13} \text{ Ф}$

Для удобства представим ответ в пикофарадах ($1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$):

$C \approx 3,6875 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 3,69 \text{ пФ}$

Ответ: электроёмкость слоистого конденсатора составляет приблизительно $3,69 \text{ пФ}$.