Номер 1, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Наблюдайте

Юноша равномерно вращает шарик, привязанный к веревке, в вертикальной плоскости. Этот же шарик вращается на гладком столе относительно вертикальной оси (рис. 5.3). Опишите движение шарика в обоих случаях и попытайтесь найти сходство и различие в его движениях.

Рис. 5.3

Движение шарика в вертикальной плоскости

В этом случае шарик движется по окружности в вертикальной плоскости под действием двух сил: силы тяжести $mg$, направленной вертикально вниз, и силы натяжения веревки $\text{T}$, направленной к центру окружности. Поскольку движение равномерное, скорость шарика $\text{v}$ постоянна по величине. Однако сила натяжения веревки $\text{T}$ изменяется в зависимости от положения шарика, так как ей приходится компенсировать не только центростремительное ускорение, но и изменяющуюся проекцию силы тяжести.

Дано:

масса шарика: $\text{m}$

длина веревки (радиус окружности): $\text{L}$

скорость движения шарика: $v = const$

ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Скорость $\text{v}$, сила натяжения $\text{T}$.

Решение:

Применим второй закон Ньютона. Центростремительная сила, удерживающая шарик на окружности, равна $F_c = \frac{mv^2}{L}$. Эта сила является равнодействующей всех сил, действующих на шарик в проекции на радиальное направление.

1. В верхней точке траектории: обе силы, натяжение $T_{верх}$ и сила тяжести $mg$, направлены вниз, к центру. Их сумма создает центростремительную силу:

$T_{верх} + mg = \frac{mv^2}{L}$

Отсюда сила натяжения в верхней точке: $T_{верх} = \frac{mv^2}{L} - mg$.

Чтобы веревка оставалась натянутой, должно выполняться условие $T_{верх} \ge 0$, что приводит к минимально возможной скорости в верхней точке для совершения полного оборота: $v \ge \sqrt{gL}$.

2. В нижней точке траектории: сила натяжения $T_{низ}$ направлена вверх, к центру, а сила тяжести $mg$ — вниз, от центра. Их разность создает центростремительную силу:

$T_{низ} - mg = \frac{mv^2}{L}$

Отсюда сила натяжения в нижней точке: $T_{низ} = \frac{mv^2}{L} + mg$.

Из формул видно, что $T_{низ} > T_{верх}$. Сила натяжения веревки не постоянна. Скорость шарика можно выразить через силу натяжения, например, в нижней точке: $v = \sqrt{\frac{(T_{низ} - mg)L}{m}}$.

Ответ: Движение шарика является равномерным движением по окружности в вертикальной плоскости. На него действуют сила тяжести и переменная по величине сила натяжения веревки. Сила натяжения максимальна в нижней точке ($T_{низ} = \frac{mv^2}{L} + mg$) и минимальна в верхней ($T_{верх} = \frac{mv^2}{L} - mg$). Скорость шарика $\text{v}$ можно найти, если известна сила натяжения в какой-либо точке, например, $v = \sqrt{\frac{(T_{низ} - mg)L}{m}}$.

Движение шарика на гладком столе

В этом случае шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости (поверхности стола). На шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$ (вниз), сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ (вверх) и сила натяжения веревки $\text{T}$ (горизонтально, к центру окружности). Поскольку стол гладкий, силой трения пренебрегаем. Сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга ($N = mg$), и их равнодействующая равна нулю. Таким образом, единственной силой, влияющей на движение в горизонтальной плоскости, является сила натяжения веревки.

Дано:

масса шарика: $\text{m}$

длина веревки (радиус окружности): $\text{L}$

скорость движения шарика: $v = const$

Найти:

Скорость $\text{v}$, сила натяжения $\text{T}$.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила натяжения веревки $\text{T}$ сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{L}$ и является центростремительной силой.

$T = m a_c = \frac{mv^2}{L}$

Поскольку скорость $\text{v}$, масса $\text{m}$ и радиус $\text{L}$ постоянны, сила натяжения веревки $\text{T}$ также постоянна по величине. Скорость шарика можно выразить через силу натяжения:

$v = \sqrt{\frac{TL}{m}}$

Ответ: Движение шарика является равномерным движением по окружности в горизонтальной плоскости. Движущей силой является постоянная по величине сила натяжения веревки $T = \frac{mv^2}{L}$. Сила тяжести скомпенсирована силой реакции опоры. Скорость шарика можно определить по формуле $v = \sqrt{\frac{TL}{m}}$.

Сходство движений

1. В обоих случаях движение происходит по траектории, являющейся окружностью радиуса $\text{L}$.

2. В обоих случаях движение равномерное, то есть модуль скорости $\text{v}$ постоянен.

3. В обоих случаях на шарик действует центростремительная сила, направленная к центру окружности и равная по модулю $F_c = \frac{mv^2}{L}$.

4. В обоих случаях сила натяжения веревки является ключевой силой, удерживающей шарик на круговой траектории.

Ответ: Сходство заключается в том, что оба движения являются равномерными круговыми движениями, где присутствует центростремительная сила, создаваемая, в основном, натяжением веревки, и направленная к центру окружности.

Различие движений

1. Плоскость вращения: В первом случае вращение происходит в вертикальной плоскости, во втором — в горизонтальной.

2. Влияние силы тяжести: В первом случае сила тяжести постоянно изменяет свою ориентацию относительно направления движения и силы натяжения, влияя на динамику движения. Во втором случае сила тяжести перпендикулярна плоскости движения и полностью скомпенсирована силой реакции опоры, не влияя на движение шарика.

3. Сила натяжения веревки: При вращении в вертикальной плоскости сила натяжения $\text{T}$ непостоянна по величине (максимальна внизу, минимальна вверху). При вращении в горизонтальной плоскости сила натяжения $\text{T}$ постоянна по величине.

4. Энергия: При движении в вертикальной плоскости потенциальная энергия шарика ($E_p = mgh$) постоянно меняется. Так как кинетическая энергия ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$) постоянна (движение равномерное), полная механическая энергия не сохраняется (юноша должен совершать работу, чтобы поддерживать скорость постоянной). При движении по столу потенциальная энергия не меняется, кинетическая постоянна, следовательно, полная механическая энергия сохраняется.

Ответ: Основные различия заключаются в плоскости вращения, влиянии силы тяжести на движение, а также в том, является ли сила натяжения веревки постоянной или переменной величиной.