Номер 4, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением $2 \text{ рад/с}^2$. Через $0,5 \text{ с}$ после начала движения полное ускорение колеса стало $13,6 \text{ м/с}^2$. Найти радиус колеса.

(Ответ: $6,1 \text{ м}$)

Дано:

Угловое ускорение $\epsilon = 2 \text{ рад/с}^2$

Время $t = 0.5 \text{ с}$

Полное ускорение $a = 13.6 \text{ м/с}^2$

Начальная угловая скорость $\omega_0 = 0$

Найти:

Радиус колеса $\text{R}$.

Решение:

Полное ускорение $\text{a}$ точки на ободе колеса является векторной суммой тангенциального (касательного) ускорения $a_t$ и нормального (центростремительного) ускорения $a_n$. Так как векторы $a_t$ и $a_n$ взаимно перпендикулярны, модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора: $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$.

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением $\epsilon$ и радиусом $\text{R}$ соотношением: $a_t = \epsilon R$.

Нормальное ускорение зависит от мгновенной угловой скорости $\omega$ и радиуса $\text{R}$: $a_n = \omega^2 R$.

Поскольку колесо начинает вращаться из состояния покоя ($\omega_0 = 0$) с постоянным угловым ускорением $\epsilon$, его угловая скорость в момент времени $\text{t}$ равна: $\omega = \omega_0 + \epsilon t = \epsilon t$.

Подставим выражения для $a_t$ и $a_n$ в формулу для квадрата полного ускорения: $a^2 = a_t^2 + a_n^2 = (\epsilon R)^2 + (\omega^2 R)^2 = \epsilon^2 R^2 + \omega^4 R^2$.

Вынесем $R^2$ за скобки: $a^2 = R^2(\epsilon^2 + \omega^4)$. Отсюда выразим радиус $\text{R}$: $R = \sqrt{\frac{a^2}{\epsilon^2 + \omega^4}} = \frac{a}{\sqrt{\epsilon^2 + \omega^4}}$.

Прежде чем подставлять все значения, вычислим угловую скорость $\omega$ в момент времени $t = 0.5 \text{ с}$: $\omega = \epsilon t = 2 \text{ рад/с}^2 \cdot 0.5 \text{ с} = 1 \text{ рад/с}$.

Теперь подставим все числовые значения в формулу для радиуса: $R = \frac{13.6}{\sqrt{2^2 + 1^4}} = \frac{13.6}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{13.6}{\sqrt{5}} \approx 6.082 \text{ м}$.

Округляя результат до десятых, получаем искомый радиус.

Ответ: $R \approx 6.1 \text{ м}$.