Номер 3, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Две точки $\text{M}$ и $\text{K}$ движутся по окружности с постоянными угловыми скоростями $0.2 \text{ рад/с}$ и $0.3 \text{ рад/с}$, соответственно (рис. 5.6). В начальный момент времени угол между радиусами этих точек равен $\pi/3$. В какой момент времени точки встретятся?

(Ответ: 52,3 c)

Рис. 5.6

Дано:

Угловая скорость точки M: $ω_M = 0,2$ рад/с

Угловая скорость точки K: $ω_K = 0,3$ рад/с

Начальный угол между радиусами точек: $Δφ_0 = π/3$ рад

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Время до встречи точек: $\text{t}$

Решение:

Из рисунка видно, что обе точки движутся в одном направлении (против часовой стрелки). Точка K имеет большую угловую скорость ($ω_K > ω_M$) и в начальный момент времени опережает точку M на угол $Δφ_0 = π/3$. Встреча произойдет, когда более быстрая точка K обгонит точку M, то есть пройдет на один полный оборот ($2π$ радиан) больше, чем точка M.

Запишем уравнения движения для угловых координат точек. Выберем в качестве начального положения точки M угол $φ_M(0) = 0$. Тогда начальное положение точки K будет $φ_K(0) = Δφ_0 = π/3$.

Уравнение движения для точки M:

$φ_M(t) = φ_M(0) + ω_M t = 0,2t$

Уравнение движения для точки K:

$φ_K(t) = φ_K(0) + ω_K t = π/3 + 0,3t$

В момент встречи $\text{t}$ угловая координата точки K будет на $2π$ больше, чем угловая координата точки M (поскольку K совершит один полный обгон).

$φ_K(t) = φ_M(t) + 2π$

Подставим уравнения движения в это условие:

$π/3 + 0,3t = 0,2t + 2π$

Сгруппируем слагаемые, содержащие время $\text{t}$, в левой части, а углы — в правой:

$0,3t - 0,2t = 2π - π/3$

$0,1t = (6π/3 - π/3)$

$0,1t = 5π/3$

Теперь выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{5π}{3 \cdot 0,1} = \frac{50π}{3}$

Подставим значение $π ≈ 3,14$:

$t ≈ \frac{50 \cdot 3,14}{3} ≈ \frac{157}{3} ≈ 52,33$ с

Округляя до десятых, получаем $52,3$ с.

Этот же результат можно получить, используя понятие относительной угловой скорости. Так как точки движутся в одном направлении, их относительная угловая скорость равна разности их скоростей:

$ω_{отн} = ω_K - ω_M = 0,3 - 0,2 = 0,1$ рад/с

Чтобы точка K догнала и перегнала точку M, ей нужно сократить отставание в $2π$ радиан, при этом начальное опережение составляет $π/3$. Таким образом, относительный угол, который должна пройти точка K, составляет:

$Δφ_{отн} = 2π - Δφ_0 = 2π - π/3 = 5π/3$

Время, необходимое для этого, равно:

$t = \frac{Δφ_{отн}}{ω_{отн}} = \frac{5π/3}{0,1} = \frac{50π}{3} ≈ 52,3$ с

Ответ: $t = \frac{50π}{3} \text{ с} ≈ 52,3$ с.