Номер 2, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Большой шкив ременной передачи имеет радиус 32 см и вращается с частотой 120 об/мин. Малый шкив имеет радиус 24 см. Найдите угловую скорость, число оборотов в минуту малого шкива и линейную скорость точек ремня, который движется без проскальзывания.

(Ответ: $\omega_2 = 16,75 \text{ с}^{-1}$; 160 об/мин; 4 м/с)

Дано:

Радиус большого шкива, $R_1 = 32$ см

Частота вращения большого шкива, $n_1 = 120$ об/мин

Радиус малого шкива, $R_2 = 24$ см

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$

$R_2 = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

$n_1 = 120 \text{ об/мин} = \frac{120}{60} \text{ об/с} = 2 \text{ Гц}$

Найти:

Угловую скорость малого шкива, $\omega_2$

Число оборотов в минуту малого шкива, $n_2$

Линейную скорость точек ремня, $\text{v}$

Решение:

Поскольку ремень движется без проскальзывания, линейная скорость точек на ободе большого шкива, малого шкива и самого ремня одинакова:

$v = v_1 = v_2$

где $v_1$ и $v_2$ — линейные скорости точек на ободах большого и малого шкивов соответственно. Связь между линейной скоростью $\text{v}$, угловой скоростью $\omega$ и частотой вращения $\text{n}$ для точки на радиусе $\text{R}$ задается формулами:

$v = \omega R$ и $\omega = 2\pi n$

Число оборотов в минуту малого шкива

Из условия равенства линейных скоростей $v_1 = v_2$ следует, что $\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$. Подставив $\omega = 2\pi n$, получим:

$2\pi n_1 R_1 = 2\pi n_2 R_2$

Отсюда можно выразить частоту вращения малого шкива $n_2$:

$n_2 = n_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения. Радиусы можно использовать в сантиметрах, так как их отношение безразмерно.

$n_2 = 120 \text{ об/мин} \cdot \frac{32 \text{ см}}{24 \text{ см}} = 120 \cdot \frac{4}{3} = 160 \text{ об/мин}$

Ответ: $160 \text{ об/мин}$.

Угловая скорость малого шкива

Угловую скорость $\omega_2$ можно найти, переведя найденную частоту $n_2$ из оборотов в минуту в радианы в секунду. Сначала переведем $n_2$ в обороты в секунду (Гц):

$n_2 = 160 \text{ об/мин} = \frac{160}{60} \text{ об/с} = \frac{8}{3} \text{ Гц}$

Теперь используем формулу связи угловой скорости и частоты:

$\omega_2 = 2\pi n_2 = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3} \text{ рад/с}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:

$\omega_2 \approx \frac{16 \cdot 3.14159}{3} \approx 16.755 \text{ рад/с}$

При округлении до сотых получаем $16.76 \text{ рад/с}$. Значение $16.75 \text{ с}^{-1}$ из ответа в задании получается при использовании менее точного значения $\pi \approx 3.14$.

Ответ: $\omega_2 = \frac{16\pi}{3} \text{ рад/с} \approx 16.76 \text{ рад/с}$.

Линейная скорость точек ремня

Линейную скорость ремня можно найти, используя параметры любого из шкивов. Используем данные для большого шкива:

$v = \omega_1 R_1$

Сначала найдем угловую скорость большого шкива:

$\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \cdot 2 \text{ Гц} = 4\pi \text{ рад/с}$

Теперь вычислим линейную скорость:

$v = 4\pi \text{ рад/с} \cdot 0.32 \text{ м} = 1.28\pi \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v \approx 1.28 \cdot 3.14159 \approx 4.021 \text{ м/с}$

Округляя, получаем значение, близкое к $4 \text{ м/с}$.

Проверка с использованием данных малого шкива:

$v = \omega_2 R_2 = \frac{16\pi}{3} \text{ рад/с} \cdot 0.24 \text{ м} = 16\pi \cdot \frac{0.08}{1} \text{ м/с} = 1.28\pi \text{ м/с} \approx 4.02 \text{ м/с}$

Результаты совпадают. Округляя до целого числа, как предложено в ответе к задаче, получаем $4 \text{ м/с}$.

Ответ: $v \approx 4 \text{ м/с}$.