Номер 4, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Определите момент инерции однородного диска радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси перпендикулярной плоскости диска и проходящей через: а) центр диска; б) середину одного из радиусов диска.

(Ответ: а) $20 \, \text{г} \, \text{м}^2$; б) $30 \, \text{г} \cdot \text{м}^2$)

Дано:

Радиус диска, $R = 20 \text{ см}$

Масса диска, $m = 1 \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

а) Момент инерции $I_a$ относительно оси, проходящей через центр диска.

б) Момент инерции $I_б$ относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов.

Решение:

а) Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс (центр диска), вычисляется по формуле:

$I_c = \frac{1}{2} m R^2$

Подставим числовые значения:

$I_a = I_c = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м})^2 = 0.5 \cdot 1 \cdot 0.04 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 0.02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: $0.02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

б) Для нахождения момента инерции относительно оси, смещенной от центра масс, воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера (теоремой о параллельных осях):

$I = I_c + m d^2$

где $I_c$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс (рассчитан в пункте а)), $\text{m}$ — масса тела, а $\text{d}$ — расстояние между старой и новой осями вращения.

В данном случае, новая ось проходит через середину одного из радиусов. Это значит, что расстояние от центра диска до этой оси составляет половину радиуса:

$d = \frac{R}{2} = \frac{0.2 \text{ м}}{2} = 0.1 \text{ м}$

Теперь подставим все значения в формулу теоремы Штейнера:

$I_б = I_c + m d^2 = 0.02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 1 \text{ кг} \cdot (0.1 \text{ м})^2$

$I_б = 0.02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 1 \text{ кг} \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.02 + 0.01 = 0.03 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: $0.03 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.