Номер 7, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. Через неподвижный блок массой 400 г перекинута нить, к концам которой привязаны грузики 100 г и 140 г. С каким ускорением будут двигаться грузики? Трением в блоке пренебречь.

(Ответ: $0,91 \text{ м/с}^2$)

Дано:

Масса первого грузика, $m_1 = 100 \text{ г}$

Масса второго грузика, $m_2 = 140 \text{ г}$

Масса неподвижного блока, $M = 400 \text{ г}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 0.14 \text{ кг}$

$M = 0.4 \text{ кг}$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с²}$ (для получения ответа, указанного в задаче).

Найти:

Ускорение грузиков $\text{a}$.

Решение:

Рассматриваемая система является машиной Атвуда с массивным блоком. Для нахождения ускорения грузов необходимо применить второй закон Ньютона для поступательного движения грузов и основной закон динамики вращательного движения для блока.

Поскольку $m_2 > m_1$, груз с массой $m_2$ будет опускаться, а груз с массой $m_1$ — подниматься с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$. Так как блок имеет массу, он будет вращаться под действием разности сил натяжения нити, поэтому силы натяжения по обе стороны от блока будут различны ($T_1 \neq T_2$).

Запишем уравнения движения для каждого тела:

1. Для более тяжелого груза $m_2$ (движение вниз):

$m_2g - T_2 = m_2a$

2. Для более легкого груза $m_1$ (движение вверх):

$T_1 - m_1g = m_1a$

3. Для блока (вращение). Будем считать блок сплошным однородным диском, момент инерции которого равен $I = \frac{1}{2}MR^2$. Вращающий момент $\tau = (T_2 - T_1)R$ вызывает угловое ускорение $\alpha$.

Основной закон динамики для вращательного движения: $\tau = I\alpha$.

Учитывая, что линейное ускорение $\text{a}$ связано с угловым как $a = \alpha R$, имеем $\alpha = a/R$.

$(T_2 - T_1)R = \left(\frac{1}{2}MR^2\right) \frac{a}{R}$

Сократив радиус $\text{R}$, получим: $T_2 - T_1 = \frac{1}{2}Ma$

Решим полученную систему из трех уравнений. Выразим $T_1$ и $T_2$ из первых двух уравнений и подставим в третье:

$T_1 = m_1a + m_1g$

$T_2 = m_2g - m_2a$

$(m_2g - m_2a) - (m_1a + m_1g) = \frac{1}{2}Ma$

Сгруппируем члены с $\text{a}$ в одной части уравнения:

$m_2g - m_1g = m_1a + m_2a + \frac{1}{2}Ma$

$(m_2 - m_1)g = a\left(m_1 + m_2 + \frac{M}{2}\right)$

Отсюда выражаем итоговую формулу для ускорения:

$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2 + \frac{M}{2}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = \frac{(0.14 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с²}}{0.1 \text{ кг} + 0.14 \text{ кг} + \frac{0.4 \text{ кг}}{2}} = \frac{0.04 \cdot 10}{0.24 + 0.2} = \frac{0.4}{0.44} \approx 0.90909... \text{ м/с²}$

Округляя результат до сотых, получаем $0.91 \text{ м/с²}$.

Ответ: $0.91 \text{ м/с²}$.