Номер 2, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. На концах тонкого однородного стержня длиной 90 см и массой 300 г прикреплены шарики массами 100 г и 200 г. Определите момент инерции этой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через:

а) первый шарик;

б) точку, отстоящую от первого шарика на 30 см;

в) середину стержня.

(Ответ: а) 0,243 $кг \cdot м^2$; б) 108 $г \cdot м^2$; в) 81 $г \cdot м^2$)

Дано:

Длина стержня $L = 90$ см

Масса стержня $M = 300$ г

Масса первого шарика $m_1 = 100$ г

Масса второго шарика $m_2 = 200$ г

Расстояние от первого шарика для случая б) $x = 30$ см

Переведем величины в систему СИ:

$L = 0.9$ м

$M = 0.3$ кг

$m_1 = 0.1$ кг

$m_2 = 0.2$ кг

$x = 0.3$ м

Найти:

$I_a$, $I_б$, $I_в$

Решение:

Общий момент инерции системы равен сумме моментов инерции стержня и двух шариков, которые мы рассматриваем как материальные точки, относительно заданной оси: $I_{сис} = I_{стержня} + I_{m1} + I_{m2}$.

Момент инерции материальной точки вычисляется по формуле $I = mr^2$, где $\text{r}$ – расстояние от точки до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс (середину) перпендикулярно стержню, равен $I_{ЦМ} = \frac{1}{12}ML^2$. Для нахождения момента инерции относительно параллельной оси, смещенной на расстояние $\text{d}$ от центра масс, используется теорема Гюйгенса-Штейнера: $I = I_{ЦМ} + Md^2$.

а) Ось проходит через первый шарик

Пусть ось вращения проходит через первый шарик $m_1$. Тогда расстояние от этого шарика до оси равно нулю, и его момент инерции $I_{m1} = 0$.

Второй шарик $m_2$ находится на другом конце стержня, на расстоянии $\text{L}$ от оси. Его момент инерции: $I_{m2} = m_2 L^2$.

Ось вращения проходит через конец стержня. Расстояние от центра масс стержня (его середины) до оси равно $d = L/2$. Момент инерции стержня можно найти по теореме Гюйгенса-Штейнера или по известной формуле для стержня относительно оси на его конце:

$I_{стержня} = I_{ЦМ} + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{4}{12}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$.

Суммарный момент инерции системы:

$I_a = I_{m1} + I_{m2} + I_{стержня} = 0 + m_2 L^2 + \frac{1}{3}ML^2$.

Подставим числовые значения:

$I_a = 0.2 \cdot (0.9)^2 + \frac{1}{3} \cdot 0.3 \cdot (0.9)^2 = 0.2 \cdot 0.81 + 0.1 \cdot 0.81 = (0.2 + 0.1) \cdot 0.81 = 0.3 \cdot 0.81 = 0.243$ кг·м².

Ответ: $0.243$ кг·м².

б) Ось проходит через точку, отстоящую от первого шарика на 30 см

Ось вращения находится на расстоянии $x = 0.3$ м от первого шарика.

Момент инерции первого шарика: $I_{m1} = m_1 x^2$.

Расстояние от второго шарика до оси равно $L - x$. Его момент инерции: $I_{m2} = m_2 (L-x)^2$.

Центр масс стержня находится на расстоянии $L/2$ от его конца. Расстояние от центра масс стержня до оси вращения: $d = |L/2 - x| = |0.9/2 - 0.3| = |0.45 - 0.3| = 0.15$ м. Момент инерции стержня по теореме Гюйгенса-Штейнера:

$I_{стержня} = I_{ЦМ} + Md^2 = \frac{1}{12}ML^2 + Md^2$.

Суммарный момент инерции системы:

$I_б = I_{m1} + I_{m2} + I_{стержня} = m_1 x^2 + m_2 (L-x)^2 + \frac{1}{12}ML^2 + Md^2$.

Подставим числовые значения:

$I_б = 0.1 \cdot (0.3)^2 + 0.2 \cdot (0.9 - 0.3)^2 + (\frac{1}{12} \cdot 0.3 \cdot (0.9)^2 + 0.3 \cdot (0.15)^2)$

$I_б = 0.1 \cdot 0.09 + 0.2 \cdot (0.6)^2 + (0.025 \cdot 0.81 + 0.3 \cdot 0.0225)$

$I_б = 0.009 + 0.2 \cdot 0.36 + (0.02025 + 0.00675)$

$I_б = 0.009 + 0.072 + 0.027 = 0.108$ кг·м².

Ответ: $0.108$ кг·м².

в) Ось проходит через середину стержня

Ось вращения проходит через центр масс стержня. Для самого стержня расстояние $d=0$, поэтому его момент инерции равен моменту инерции относительно центра масс:

$I_{стержня} = I_{ЦМ} = \frac{1}{12}ML^2$.

Оба шарика находятся на расстоянии $L/2$ от оси вращения (середины стержня).

$I_{m1} = m_1 (\frac{L}{2})^2$

$I_{m2} = m_2 (\frac{L}{2})^2$

Суммарный момент инерции системы:

$I_в = I_{m1} + I_{m2} + I_{стержня} = m_1 (\frac{L}{2})^2 + m_2 (\frac{L}{2})^2 + \frac{1}{12}ML^2 = (m_1+m_2)(\frac{L}{2})^2 + \frac{1}{12}ML^2$.

Подставим числовые значения:

$I_в = (0.1 + 0.2) \cdot (\frac{0.9}{2})^2 + \frac{1}{12} \cdot 0.3 \cdot (0.9)^2$

$I_в = 0.3 \cdot (0.45)^2 + 0.025 \cdot 0.81$

$I_в = 0.3 \cdot 0.2025 + 0.02025$

$I_в = 0.06075 + 0.02025 = 0.081$ кг·м².

Ответ: $0.081$ кг·м².