Номер 3, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Определите момент инерции плоской однородной прямоугольной пластинки массой 900 г относительно оси, совпадающей с одной из сторон, если длина другой стороны 20 см.

(Ответ: $12 \text{ г} \cdot \text{м}^2$)

Дано:

Масса пластинки, $m = 900 \text{ г}$

Длина стороны, перпендикулярной оси вращения, $a = 20 \text{ см}$

Ось вращения совпадает с другой стороной пластинки.

Перевод в систему СИ:

$m = 900 \text{ г} = 0.9 \text{ кг}$

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Момент инерции пластинки, $\text{I}$.

Решение:

Момент инерции — это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для сплошного тела он рассчитывается как сумма произведений масс элементарных частиц на квадраты их расстояний до оси вращения: $I = \int r^2 dm$.

Рассмотрим однородную прямоугольную пластинку со сторонами $\text{a}$ и $\text{b}$. Пусть ось вращения совпадает со стороной $\text{b}$. Тогда расстояние $\text{r}$ до оси для любой точки пластинки будет равно её координате $\text{x}$ (если направить ось $\text{X}$ перпендикулярно оси вращения). Поверхностная плотность материала пластинки $\sigma$ постоянна и равна $\sigma = \frac{m}{S} = \frac{m}{ab}$, где $\text{S}$ - площадь пластинки.

Выделим на пластинке бесконечно тонкую полоску, параллельную оси вращения, шириной $dx$ и находящуюся на расстоянии $\text{x}$ от неё. Площадь этой полоски $dS = b \cdot dx$. Масса этой полоски $dm = \sigma \cdot dS = \frac{m}{ab} \cdot b \cdot dx = \frac{m}{a} dx$.

Все точки этой полоски находятся на одинаковом расстоянии $\text{x}$ от оси вращения. Момент инерции пластинки будет равен интегралу моментов инерции всех таких полосок по всей ширине пластинки от $\text{0}$ до $\text{a}$:

$I = \int_0^a x^2 dm = \int_0^a x^2 \left(\frac{m}{a} dx\right) = \frac{m}{a} \int_0^a x^2 dx$

Вычислим интеграл:

$I = \frac{m}{a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{m}{a} \left( \frac{a^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{m}{a} \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{1}{3}ma^2$

Таким образом, формула для расчета момента инерции прямоугольной пластинки относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, имеет вид $I = \frac{1}{3}ma^2$, где $\text{a}$ — длина стороны, перпендикулярной оси вращения.

Подставим в эту формулу значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$I = \frac{1}{3} \cdot 0.9 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м})^2 = 0.3 \text{ кг} \cdot 0.04 \text{ м}^2 = 0.012 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Для сверки с ответом, приведенным в задании, можно перевести полученное значение в г·м²:

$0.012 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 0.012 \cdot 1000 \text{ г} \cdot \text{м}^2 = 12 \text{ г} \cdot \text{м}^2$

Ответ: $I = 0.012 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.