Номер 8, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*8. Цилиндрический вал массой 100 кг и радиусом 5 см вращается делая 480 оборотов в минуту. К поверхности вала прижимают колодку, которая останавливает вал через 10 с. Определите коэффициент трения колодки о вал, если величина силы 40 Н.

(Ответ: 0,3)

Дано:

Масса цилиндрического вала, $m = 100$ кг

Радиус вала, $R = 5$ см

Частота вращения, $n = 480$ об/мин

Время остановки, $t = 10$ с

Сила прижатия колодки (сила нормальной реакции), $N = 40$ Н

Конечная угловая скорость, $\omega = 0$ рад/с

Перевод в систему СИ:

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$n = 480 \text{ об/мин} = \frac{480}{60} \text{ об/с} = 8 \text{ об/с (Гц)}$

Найти:

Коэффициент трения колодки о вал, $\mu$

Решение:

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

$M = I \cdot \varepsilon$

где $\text{M}$ - тормозящий момент силы трения, $\text{I}$ - момент инерции вала, $\varepsilon$ - угловое ускорение (по модулю).

Тормозящий момент $\text{M}$ создается силой трения $F_{тр}$, которая приложена на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения:

$M = F_{тр} \cdot R$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ связана с силой нормального давления $\text{N}$ (силой прижатия колодки) через коэффициент трения $\mu$:

$F_{тр} = \mu \cdot N$

Следовательно, момент силы трения равен:

$M = \mu \cdot N \cdot R$

Вал является сплошным цилиндром, его момент инерции относительно оси вращения вычисляется по формуле:

$I = \frac{1}{2} m R^2$

Вращение вала является равнозамедленным. Модуль углового ускорения $\varepsilon$ можно определить из уравнения кинематики вращательного движения:

$\omega = \omega_0 - \varepsilon t$

Поскольку вал останавливается, его конечная угловая скорость $\omega = 0$. Отсюда выражаем $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{\omega_0}{t}$

Начальную угловую скорость $\omega_0$ найдем, зная начальную частоту вращения $\text{n}$:

$\omega_0 = 2 \pi n$

Подставим все полученные выражения в исходное уравнение $M = I \varepsilon$:

$\mu N R = \left(\frac{1}{2} m R^2\right) \cdot \left(\frac{\omega_0}{t}\right)$

Сократим на $\text{R}$ и выразим искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu N = \frac{1}{2} m R \frac{\omega_0}{t}$

$\mu = \frac{m R \omega_0}{2 N t}$

Произведем вычисления. Сначала найдем начальную угловую скорость:

$\omega_0 = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16 \pi$ рад/с

Теперь подставим все числовые значения в формулу для коэффициента трения:

$\mu = \frac{100 \text{ кг} \cdot 0.05 \text{ м} \cdot 16 \pi \text{ рад/с}}{2 \cdot 40 \text{ Н} \cdot 10 \text{ с}} = \frac{5 \cdot 16 \pi}{800} = \frac{80 \pi}{800} = \frac{\pi}{10}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем:

$\mu \approx \frac{3.14}{10} = 0.314$

Округляя результат до десятых, как указано в ответе к задаче, получаем $\mu \approx 0.3$.

Ответ: $\mu \approx 0.3$.