Номер 6, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. К ободу колеса массой $50 \text{ кг}$, имеющего форму диска радиусом $50 \text{ см}$, приложена касательная сила $100 \text{ Н}$. Определите: а) угловое ускорение колеса; б) через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения $6000 \text{ об/мин}$?

(Ответ: а) $8 \text{ рад/с}^2$; б) $78.5 \text{ с}$)

Дано:

Масса колеса (диска), $m = 50$ кг

Радиус колеса, $R = 50$ см

Касательная сила, $F = 100$ Н

Конечная частота вращения, $n = 6000$ об/мин

Начальная угловая скорость, $\omega_0 = 0$ (колесо в покое)

Перевод в систему СИ:

$R = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$n = 6000 \text{ об/мин} = \frac{6000}{60} \text{ об/с} = 100 \text{ об/с}$

Найти:

а) Угловое ускорение $\epsilon$

б) Время $\text{t}$

Решение:

а)

Угловое ускорение колеса можно найти из основного уравнения динамики вращательного движения:

$M = I \cdot \epsilon$

где $\text{M}$ - момент силы, $\text{I}$ - момент инерции, $\epsilon$ - угловое ускорение.

Момент силы $\text{M}$, создаваемый касательной силой $\text{F}$, приложенной к ободу колеса, равен произведению силы на радиус:

$M = F \cdot R$

Колесо имеет форму диска, его момент инерции относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, вычисляется по формуле:

$I = \frac{1}{2} m R^2$

Подставим выражения для $\text{M}$ и $\text{I}$ в основное уравнение динамики:

$F \cdot R = \left(\frac{1}{2} m R^2\right) \cdot \epsilon$

Выразим из этого уравнения угловое ускорение $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{F \cdot R}{\frac{1}{2} m R^2} = \frac{2F}{mR}$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$\epsilon = \frac{2 \cdot 100 \text{ Н}}{50 \text{ кг} \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{200}{25} = 8 \text{ рад/с}^2$

Ответ: 8 рад/с².

б)

Чтобы найти время, через которое колесо достигнет заданной частоты вращения, сначала переведем частоту вращения из оборотов в минуту в угловую скорость $\omega$ в радианах в секунду.

Частота в Гц (оборотов в секунду) уже найдена: $f = 100 \text{ об/с}$.

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой $\text{f}$ соотношением:

$\omega = 2\pi f$

$\omega = 2\pi \cdot 100 = 200\pi \text{ рад/с}$

При равноускоренном вращательном движении из состояния покоя ($\omega_0 = 0$) угловая скорость в момент времени $\text{t}$ определяется формулой:

$\omega = \omega_0 + \epsilon t = \epsilon t$

Отсюда выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{\omega}{\epsilon}$

Подставим найденные значения $\omega$ и $\epsilon$ (из пункта а):

$t = \frac{200\pi \text{ рад/с}}{8 \text{ рад/с}^2} = 25\pi \text{ с}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$:

$t \approx 25 \cdot 3.14 = 78.5 \text{ с}$

Ответ: 78,5 с.