Номер 14, страница 315 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 10. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Глава 5. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике - номер 14, страница 315.

Условие.

14. Снаряд, запущенный вертикально вверх, разрывается в самой верхней точке подъёма на два одинаковых осколка, один из которых летит вверх, а другой — вниз. С какой скоростью упадёт на землю второй осколок, если первый падает на неё со скоростью $\text{v}$?

Решение.

Дано:

Снаряд разрывается на два одинаковых осколка, $m_1 = m_2 = m.$

Взрыв происходит в верхней точке подъема, где скорость снаряда $v_{с} = 0.$

Один осколок летит вверх, другой - вниз.

Скорость первого осколка при падении на землю равна $v_1 = v.$

Найти:

Скорость второго осколка при падении на землю $v_2.$

Решение:

1. Рассмотрим процесс взрыва. Так как взрыв происходит в верхней точке траектории, начальный импульс снаряда равен нулю. Система "снаряд" является замкнутой в момент взрыва (внешней силой тяжести за короткое время взрыва можно пренебречь по сравнению с внутренними силами). Применим закон сохранения импульса. Пусть $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ — скорости осколков сразу после взрыва. Ось Y направим вертикально вверх.

$0 = m \cdot \vec{u_1} + m \cdot \vec{u_2}$

Отсюда следует, что $\vec{u_1} = - \vec{u_2}$. Это означает, что скорости осколков сразу после взрыва равны по модулю и противоположны по направлению. Пусть модуль этих скоростей равен $u$. Тогда первый осколок (летящий вверх) имеет скорость $u_1 = u$, а второй (летящий вниз) — $u_2 = -u.$

2. Теперь рассмотрим движение осколков после взрыва. Пусть взрыв произошел на высоте $H$ над землей. Применим закон сохранения механической энергии для каждого осколка. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность земли.

Для первого осколка:

Полная механическая энергия сразу после взрыва (на высоте $H$, со скоростью $u$ вверх):

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{m u^2}{2} + m g H$

Полная механическая энергия в момент падения на землю (на высоте 0, со скоростью $v$):

$E_{1'} = E_{k1'} + E_{p1'} = \frac{m v^2}{2} + 0$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_{1'}$:

$\frac{m u^2}{2} + m g H = \frac{m v^2}{2}$

Сокращая на $m$, получаем:

$\frac{u^2}{2} + g H = \frac{v^2}{2}$ (1)

Для второго осколка:

Полная механическая энергия сразу после взрыва (на высоте $H$, со скоростью $u$ вниз):

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{m (-u)^2}{2} + m g H = \frac{m u^2}{2} + m g H$

Полная механическая энергия в момент падения на землю (на высоте 0, с искомой скоростью $v_2$):

$E_{2'} = E_{k2'} + E_{p2'} = \frac{m v_2^2}{2} + 0$

По закону сохранения энергии $E_2 = E_{2'}$:

$\frac{m u^2}{2} + m g H = \frac{m v_2^2}{2}$

Сокращая на $m$, получаем:

$\frac{u^2}{2} + g H = \frac{v_2^2}{2}$ (2)

3. Сравнивая уравнения (1) и (2), мы видим, что их левые части одинаковы, следовательно, должны быть равны и правые части:

$\frac{v^2}{2} = \frac{v_2^2}{2}$

Отсюда $v^2 = v_2^2$. Так как скорость — это модуль вектора скорости, то она является величиной неотрицательной. Следовательно, $v_2 = v$.

Альтернативное рассуждение: первый осколок, летящий вверх со скоростью $u$ с высоты $H$, поднимется на некоторую высоту и, падая, пролетит точку взрыва $H$ со скоростью $u$, направленной вниз. С этого момента его движение полностью идентично движению второго осколка. Следовательно, они упадут на землю с одинаковыми скоростями.

Ответ: скорость второго осколка при падении на землю будет равна $v$.