Номер 9, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 5. Закон сохранения импульса. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Упражнение 10 - номер 9, страница 314.

Условие.

9. Две лодки идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. При встрече лодки обмениваются грузами, имеющими одинаковую массу. Обмен может происходить двумя способами:

1) сначала с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки перебрасывают груз обратно на первую;

2) грузы перебрасывают из лодки в лодку одновременно. При каком способе скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше?

Решение.

Дано:

Масса каждой лодки: $M$

Масса каждого груза: $m$

Начальная скорость первой лодки: $v$

Начальная скорость второй лодки: $-v$ (так как они движутся навстречу)

Найти:

При каком способе обмена грузами конечная скорость лодок будет больше.

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса. Введем одномерную систему координат, ось которой совпадает с направлением движения лодок, а начало отсчета связано с Землей. Пусть первая лодка движется в положительном направлении оси, тогда ее начальная скорость равна $v$, а скорость второй лодки равна $-v$. Предположим, что грузы перебрасываются в направлении, перпендикулярном курсу лодок, поэтому при броске продольная составляющая скорости лодки не изменяется.

1) Последовательный обмен.

Сначала с первой лодки (скорость $v$) на вторую (скорость $-v$) перебрасывают груз массой $m$. Перед попаданием на вторую лодку груз имеет горизонтальную скорость $v$. Происходит абсолютно неупругое столкновение груза со второй лодкой (которая уже несет свой груз). Запишем закон сохранения импульса для системы «вторая лодка с грузом + летящий груз»:

$(M+m)(-v) + mv = (M+m+m)v'_{2}$

$-Mv - mv + mv = (M+2m)v'_{2}$

$-Mv = (M+2m)v'_{2}$

Отсюда находим скорость второй лодки после получения первого груза:

$v'_{2} = -\frac{Mv}{M+2m}$

Далее со второй лодки, движущейся со скоростью $v'_{2}$, на первую перебрасывают груз массой $m$. Этот груз в полете будет иметь горизонтальную скорость $v'_{2}$. Первая лодка (уже без своего первоначального груза, массой $M$) движется со скоростью $v$. Происходит неупругое столкновение первой лодки с летящим к ней грузом. Запишем закон сохранения импульса для системы «первая лодка + летящий груз»:

$Mv + mv'_{2} = (M+m)v'_{1f}$

Подставим найденное значение $v'_{2}$:

$Mv + m\left(-\frac{Mv}{M+2m}\right) = (M+m)v'_{1f}$

$Mv\left(1 - \frac{m}{M+2m}\right) = (M+m)v'_{1f}$

$Mv\left(\frac{M+2m-m}{M+2m}\right) = (M+m)v'_{1f}$

$Mv\frac{M+m}{M+2m} = (M+m)v'_{1f}$

Отсюда находим конечную скорость первой лодки:

$v'_{1f} = \frac{Mv}{M+2m}$

Конечная скорость второй лодки (после того, как с нее сбросили груз) остается $v'_{2}$. Таким образом, модуль конечной скорости обеих лодок в первом случае равен:

$v_1 = \frac{Mv}{M+2m}$

2) Одновременный обмен.

В этом случае каждая лодка одновременно ловит встречный груз и избавляется от своего. Рассматриваем систему «первая лодка (без груза) + летящий к ней груз со второй лодки». Начальная скорость первой лодки (массой $M$) равна $v$. Летящий к ней груз (массой $m$) имеет скорость $-v$. Запишем закон сохранения импульса для их неупругого столкновения:

$Mv + m(-v) = (M+m)v''_{1f}$

$(M-m)v = (M+m)v''_{1f}$

Отсюда находим конечную скорость первой лодки:

$v''_{1f} = \frac{M-m}{M+m}v$

Из соображений симметрии, конечная скорость второй лодки будет $v''_{2f} = -\frac{M-m}{M+m}v$. Модуль конечной скорости обеих лодок во втором случае равен (предполагая, что масса лодки больше массы груза, $M>m$):

$v_2 = \frac{M-m}{M+m}v$

Теперь сравним модули скоростей, полученные в двух случаях:

$v_1 = \frac{M}{M+2m}v$ и $v_2 = \frac{M-m}{M+m}v$

Для сравнения $v_1$ и $v_2$ достаточно сравнить коэффициенты при $v$ (так как $v>0$):

$\frac{M}{M+2m}$ и $\frac{M-m}{M+m}$

Приведем дроби к общему знаменателю или воспользуемся перекрестным умножением (знаменатели положительны):

$M(M+m)$ vs $(M-m)(M+2m)$

$M^2 + Mm$ vs $M^2 + 2Mm - Mm - 2m^2$

$M^2 + Mm$ vs $M^2 + Mm - 2m^2$

Поскольку масса груза $m > 0$, то $2m^2 > 0$. Следовательно, левая часть выражения всегда больше правой:

$M^2 + Mm > M^2 + Mm - 2m^2$

Это означает, что:

$\frac{M}{M+2m} > \frac{M-m}{M+m}$

И, следовательно, $v_1 > v_2$.

Ответ:

Скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше при первом (последовательном) способе обмена.