Номер 7, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 5. Закон сохранения импульса. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Упражнение 10 - номер 7, страница 314.

Условие.

7. Граната, брошенная от поверхности Земли, разрывается на два одинаковых осколка в наивысшей точке траектории на расстоянии $\text{a}$ от места бросания, считая по горизонтали. Один из осколков летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, которую имела граната до разрыва. На каком расстоянии $\text{l}$ от места бросания упадёт второй осколок?

Решение.

Дано:

Горизонтальное расстояние до точки разрыва гранаты: $a$

Масса гранаты: $M$

Масса первого осколка: $m_1 = M/2$

Масса второго осколка: $m_2 = M/2$

Скорость гранаты в наивысшей точке (до разрыва): $\vec{v}$

Скорость первого осколка (после разрыва): $\vec{v_1}$, где $|\vec{v_1}| = |\vec{v}|$ и направление противоположно $\vec{v}$

Скорость второго осколка (после разрыва): $\vec{v_2}$

Найти:

Расстояние от места бросания, на котором упадёт второй осколок: $l$

Решение:

1. Движение гранаты до разрыва.

Граната брошена под углом к горизонту. В наивысшей точке траектории ее скорость имеет только горизонтальную составляющую. Обозначим эту скорость как $v$. По условию, горизонтальное расстояние, пройденное гранатой до этой точки, равно $a$. Если $t$ – время полета до наивысшей точки, то $a = v \cdot t$. Если бы граната не разорвалась, она пролетела бы по горизонтали расстояние $2a$ за время $2t$.

2. Разрыв гранаты.

Разрыв гранаты является внутренним процессом для системы, состоящей из осколков. Внешние силы (сила тяжести) действуют по вертикали. Следовательно, в горизонтальном направлении можно применить закон сохранения импульса. Выберем положительное направление оси X в сторону начального горизонтального движения гранаты.

Импульс системы до разрыва: $P_x = Mv$.

Импульс системы после разрыва: $P'_x = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$.

По условию, осколки одинаковые, значит $m_1 = m_2 = M/2$. Первый осколок летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, т.е. $v_{1x} = -v$. Скорость второго осколка обозначим $v_{2x}$.

Запишем закон сохранения импульса:

$Mv = \frac{M}{2}(-v) + \frac{M}{2}v_{2x}$

Сократим массу $M$:

$v = -\frac{v}{2} + \frac{v_{2x}}{2}$

$v + \frac{v}{2} = \frac{v_{2x}}{2}$

$\frac{3}{2}v = \frac{v_{2x}}{2}$

$v_{2x} = 3v$

Таким образом, второй осколок после разрыва продолжает движение в первоначальном направлении с утроенной скоростью.

3. Движение второго осколка после разрыва.

Разрыв произошел в наивысшей точке траектории. Время падения осколка с этой высоты равно времени подъема гранаты до нее, то есть $t$.

За это время $t$ второй осколок пролетит по горизонтали расстояние $d_2$:

$d_2 = v_{2x} \cdot t = (3v) \cdot t = 3(vt)$

Так как расстояние до точки взрыва $a = vt$, то $d_2 = 3a$.

Общее расстояние $l$, которое пролетит второй осколок от места бросания, складывается из расстояния до точки взрыва ($a$) и расстояния, которое он пролетел после взрыва ($d_2$):

$l = a + d_2 = a + 3a = 4a$

Ответ: $l=4a$.