Номер 5, страница 313 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 5. Закон сохранения импульса. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Упражнение 10 - номер 5, страница 313.

Условие.

5. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.

Решение.

Дано:

Масса ракеты с зарядом, $M = 250 \text{ г}$
Масса заряда, $m_г = 50 \text{ г}$
Высота подъема ракеты, $h = 150 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$M = 0.25 \text{ кг}$
$m_г = 0.05 \text{ кг}$

Найти:

Скорость истечения газов, $u$ - ?

Решение:

Задачу можно решить в два этапа. Сначала, используя закон сохранения энергии, найдем начальную скорость ракеты после сгорания топлива. Затем, используя закон сохранения импульса для момента старта, определим скорость истечения газов.

1. Нахождение начальной скорости ракеты.

Масса ракеты после сгорания заряда (без топлива) равна:

$m_р = M - m_г = 0.25 \text{ кг} - 0.05 \text{ кг} = 0.2 \text{ кг}$

После того как заряд мгновенно сгорает, ракета приобретает начальную скорость $v_р$ и начинает двигаться вертикально вверх. В верхней точке траектории, на высоте $h$, скорость ракеты становится равной нулю. По закону сохранения механической энергии, начальная кинетическая энергия ракеты полностью переходит в ее потенциальную энергию на максимальной высоте (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

$E_k = E_p$

$\frac{m_р v_р^2}{2} = m_р g h$

Сократив массу ракеты $m_р$, выразим ее начальную скорость $v_р$:

$v_р = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_р = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 150 \text{ м}} = \sqrt{2940} \text{ м/с} \approx 54.22 \text{ м/с}$

2. Нахождение скорости истечения газов.

Поскольку сгорание заряда происходит мгновенно, к системе "ракета + газы" применим закон сохранения импульса. До старта ракета покоилась, поэтому начальный импульс системы равен нулю.

$\vec{p}_{начальный} = 0$

После сгорания заряда ракета массой $m_р$ движется вверх со скоростью $v_р$, а газы массой $m_г$ движутся вниз со скоростью $u$. Запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$0 = m_р v_р - m_г u$

Знак "минус" у импульса газов означает, что их скорость направлена в сторону, противоположную направлению оси.

Из этого уравнения выразим искомую скорость истечения газов $u$:

$m_г u = m_р v_р$

$u = \frac{m_р v_р}{m_г}$

Подставим найденные и известные значения:

$u = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot \sqrt{2940} \text{ м/с}}{0.05 \text{ кг}} = 4 \cdot \sqrt{2940} \text{ м/с} \approx 216.88 \text{ м/с}$

Округлим результат.

Ответ: скорость истечения газов из ракеты составляет приблизительно $217 \text{ м/с}$.