Номер 3, страница 301 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 5. Закон сохранения импульса. Параграф 5.4. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Реактивная сила - номер 3, страница 301.

Условие.

3. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты и вытекающие из сопла газы летят вслед за ракетой?

Рис. 5.6

Решение.

Рассмотрим этот вопрос с точки зрения закона сохранения импульса. Движение ракеты основано на реактивном принципе: ракета получает ускорение, отбрасывая часть своей массы (рабочее тело — газы) в противоположном направлении.

Решение

Пусть в некоторый момент времени ракета массой $M$ имеет скорость $\vec{V_p}$ относительно Земли (или любой другой инерциальной системы отсчета). За малый промежуток времени $dt$ из сопла выбрасывается порция газа массой $dm$ со скоростью $\vec{u}$ относительно ракеты. Скорость ракеты при этом изменяется на $d\vec{V_p}$.

Вектор скорости истечения газов относительно ракеты $\vec{u}$ всегда направлен в сторону, противоположную вектору скорости ракеты $\vec{V_p}$.

Скорость выброшенных газов относительно Земли $\vec{V_g}$ находится по закону сложения скоростей:

$\vec{V_g} = \vec{V_p} + \vec{u}$

Спроецируем это уравнение на ось движения, направив ее по движению ракеты. Тогда скорость ракеты $V_p$ будет положительной, а скорость газов относительно ракеты $u$ — отрицательной (так как направлена в противоположную сторону). Величина скорости истечения газов будет $|u|$.

$V_g = V_p - |u|$

По условию задачи, скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты ($|u| < V_p$) и газы летят вслед за ракетой. Это означает, что их скорость относительно Земли $V_g$ положительна: $V_g = V_p - |u| > 0$. Это условие является следствием первого и не меняет сути дела.

Рассмотрим замкнутую систему «ракета + выбрасываемый газ». По закону сохранения импульса, изменение импульса системы равно нулю. В проекции на ось движения:

$M \cdot V_p = (M - dm) \cdot (V_p + dV_p) + dm \cdot V_g$

Подставим выражение для $V_g$:

$M \cdot V_p = (M - dm) \cdot (V_p + dV_p) + dm \cdot (V_p - |u|)$

Раскроем скобки:

$M V_p = M V_p + M dV_p - dm V_p - dm dV_p + dm V_p - dm |u|$

Сократим одинаковые члены ($M V_p$, а также $-dm V_p$ и $+dm V_p$):

$0 = M dV_p - dm dV_p - dm |u|$

Поскольку $dm$ и $dV_p$ — бесконечно малые величины, их произведением $dm dV_p$ можно пренебречь по сравнению с остальными членами.

$0 \approx M dV_p - dm |u|$

Отсюда получаем:

$M dV_p = dm |u|$

Из этого выражения видно, что приращение скорости ракеты $dV_p$ равно:

$dV_p = \frac{|u| \cdot dm}{M}$

Так как масса ракеты $M$, масса выброшенного газа $dm$ и скорость истечения газов относительно ракеты $|u|$ являются положительными величинами, то и приращение скорости ракеты $dV_p$ всегда будет положительным.

Это означает, что скорость ракеты будет увеличиваться. Ускорение ракете придает сила реакции (тяга), которая возникает из-за того, что ракета отбрасывает от себя газ. Направление этой силы зависит только от направления выброса газа относительно ракеты, а не от того, как этот газ движется относительно Земли. Пока ракета выбрасывает газ назад (относительно себя), она будет ускоряться вперед.

Ответ: Да, скорость ракеты будет увеличиваться. Ускорение ракеты зависит от скорости истечения газов относительно самой ракеты, а не от их скорости относительно Земли. Пока газы отбрасываются в направлении, противоположном движению ракеты (относительно нее), ракета будет получать ускорение в сторону своего движения.